Численные методы решения нелинейных уравнений

Цель работы: изучить решения систем нелинейных уравнений в среде MathCAD.

Теоретические сведения

Для решения нелинейных уравнений (нелинейных систем) можно рекомендовать метод Ньютона, который относится к классу приближенных или итерационных методов. Идея метода состоит в приближенной замене нелинейной системы линейной, которая решается методом Гаусса.

Метод Ньютона рассмотрим на примере системы из двух уравнений:

1) Выбираем начальное приближение (с помощью графика или пробных расчетов). Пусть (х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾) – начальное приближение.

2) Строим линейную систему

где частные производные вычисляются в точке (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾), h₁, h₂ – приращения для x₁, x₂.

Решив систему, находим h₁ и h₂ и вычисляем следующее приближение:

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾+h₁

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽⁰⁾+h₂.

Если | |<ε, то считается, что решение с требуемой точностью найдено. Если нет, то повторяем снова для x₁⁽¹⁾ и x₂⁽¹⁾ и т. д.

Задание. (Исходные данные в приложении 5.).

1. Найти начальное приближение.

2. Решить задачу с помощью MathCAD.

3. Записать результат.

Пример расчета.

f₁ = x₁ + 0.3029 Ln(x₁) – x₂² = 0; (1)

f₂ = 2x₁²- x₁x₂ – 5x₁ + 1 = 0; (2)

ε = 0,01.

1. Поиск начального приближения.

Для поиска начального приближения преобразуем уравнение

Составим таблицу начальных приближений для х₁

Вычисляем левые части уравнений при различных х₁. Решение где-то при 3 < х < 4. Например, возьмем х₁ = 3,4.

При х₁ = 3,4 получаем:

х₂ = 2,23 из (1’)

х₂ = 2,1 из (2’),

т.е. 2,1 ≤ х₂ ≤ 2,23. Например, возьмем х₂ = 2,2.

Итак, в качестве начального приближения мы выбрали:

x₁⁽⁰⁾ = 3,4; x₂⁽⁰⁾ = 2,2.

2. Вычисление приращения.

Вычисляем значения функции из (1’), (2’) при полученных x₁, x₂.

f₁ (3,4; 2,2)= 0,1544;

f₂ (3,4; 2,2)= - 0,3600.

Мы не получили решение с точностью ε = 0,01, то нужно уточнить значения x₁, x₂. Для этого строим матрицу частных производных:

.

Решаем систему:

h₁ = 0.0899; h₂ = 0.0633.

3. Вычисление следующих приближений для x₁, x₂.

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ + h₁ = 3,4 + 0,0899 = 3,4899;

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽⁰⁾ + h₂ = 2,2 + 0,0633 = 2,2633.

f₁ (3,4899; 2,2633)= -0,00417;

f₂ (3,4899; 2,2633)= 0,0106.

Вновь не получили решение с точностью ε = 0,01, поэтому необходимо еще построить матрицу частных производных уже по новым значениям x₁, x₂ и повторить все дальнейшие действия

.

4. Решение с помощью MathCad

Искомым переменным x₁ и x₂ присваиваем найденное вручную начальное приближение. Затем в блоке Given записываем выражения функций приведенных к виду f(x) = 0 при помощи панелей инструментов «Арифметика» и «Булево» (рис. 1, 2).

Рис. 1 Панель «Арифметика»

Рис. 2 Панель «Булево»

После этого с помощью функции Find найти значения переменных. Решенная задача в MathCAD будет выглядеть следующим образом:

;

.

Контрольные вопросы и задания

1. Какой метод применяется для решения систем нелинейных уравнений?

2. Назовите способы нахождения начального приближения.

3. В каком блоке записываются ограничения в виде равенств или неравенств?

Лабораторная работа № 6

Моделирование стационарных режимов

Цель работы: изучить моделирование стационарных режимов.

Теоретические сведения

Понятие статических систем, как правило, не существует. Речь может идти о стационарных состояниях или режимах функционирования какой-либо системы, которая в каждый момент под действием внешних воздействий может выйти из этого состояния.

Стационарное состояние является основным рабочим режимом непрерывных технологических процессов.

Существуют 2 класса исследования стационарных состояний:

1) Задача анализа – определение неизвестных режимных переменных системы, при которых достигается заданное стационарное состояние.

2) Задача оптимального синтеза – выбор оптимального стационарного состояния среди множества возможных.

Таким образом, видим, что первая задача – это составная часть второй. Решением первой задачи является конечный набор числовых значений.

Основа моделей стационарных режимов – уравнение материального и энергетического баланса в системе. Всегда входной поток материи равен выходному потоку. Накопления не происходит.

Состояние системы называется стационарным (статическим), если параметры системы не изменяются во времени.

Рассмотрим технологическую систему, в которой происходит обработка некоторого продукта. В схеме возможны рециклы (т.е. возврат части продукта на повторную обработку).

Задача состоит в том, чтобы при заданных значениях относительных интенсивностей материальных потоков между операциями Р_{i j} составить модель схемы для нахождения нагрузки на каждую операцию.

Обозначим:

Р_{i j} – доля потока, выходящего с i – операции и направляемая на j-операцию. Справедливы следующие соотношения:

.

П – объем выпускаемой продукции (единиц/час);

N_i – абсолютная интенсивность потока, выходящего с i-ой операции;

N₀ – выход с нулевой операции (склад сырья);

R_i – коэффициент выхода с i-ой операции.

Тогда на основании условий материального баланса при отсутствии накоплений, выходной поток с каждой операции равен входному с поправкой на коэффициент выхода: N_i+1 = R_i+1 · N_i

Задание. (Исходные данные вприложении 6.)

1. Записать уравнения материальных потоков.

2. Решить систему с помощью MathCad.

3. Записать результат.

Примеры расчетов

Рис. 1. Технологическая схема

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Полученное соотношение можно записать в виде:

.

Если число операций равно m, то имеем (m + 1) уравнений от (2m + 2) параметров N₀, N₁, N₂, … , N_m, П, R₁, R₂, … R_m. Коэффициенты выхода обычно зависят от режимных параметров технологических операций. Если эти параметры заданы, то можно определить R_j. Среди оставшихся (m + 2) параметров должно быть задано либо N₀, либо П. Оставшиеся (m + 1) параметры можно найти из системы.

Рис. 2. Каскад реакторов

F– расход сырья (моль/час);

X_F – концентрация исходного вещества в сырье (моль/м³).

Необходимо определить концентрацию исходного вещества в готовом продукте, т.е. долю не прореагировавшего вещества. Обозначим:

s_i - количество исходного сырья, расходуемого в 1 м³ объема i-го реактора за час;

V_i– объем i-го реактора, м³;

K_i – константа скорости реакции, определяемая по закону Аррениуса.

Уравнения баланса:

где V₁ и V₂ – объемы соответствующих аппаратов.

Получили два уравнения с четырьмя неизвестными. Заменим уравнение связи. Пусть .

Получим аналитическое решение:

Контрольные вопросы и задания

1. Какое состояние системы называется стационарным?

2. Назовите классы исследования стационарных состояний.

3. Запишите уравнение материального баланса.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: