Модель идеального смешения

Лабораторная работа № 1

Этапы моделирования

Цель работы: изучить этапы моделирования процессов, а также закрепить навыки по методу решения полученных моделей.

Теоретические сведения

При исследовании любой системы посредством математического моделирования возможно наличие многих альтернативных вариантов моделей. Каждая из них в чем-то лучше остальных, а чем-то хуже. Поэтому процесс разработки наилучшего, как правило, компромиссного варианта модели достаточно сложен. Системный подход предполагает наличие следующих этапов создания модели:

1. Синтез модели– создание возможных ее вариантов.

Различают:

а) структурный синтез – разработка структуры модели: ее общего вида (например, в виде многочлена или другой функции), определение числа параметров и т. п.;

б) параметрический синтез – поиск числовых значений параметров модели либо на основании справочных данных, либо исходя из условия максимального совпадения результатов, найденных по модели, с экспериментальными.

2.Анализ модели– определение качества синтезированного варианта по критериям:

а) универсальности – полноты отображаемых свойств объекта;

б) точности – степени совпадения реальных данных с предсказанными моделью;

в) адекватности – способности правильно отображать свойства объекта;

г) экономичности – затрат на разработку и реализацию модели.

3. Выбор и принятие решений – общая оценка полезности вариантов и выбор лучшего.

В процессе перехода от словесного описания к получению результатов исследования модель объекта претерпевает следующие изменения формы своего представления.

1. Аналитическая модель описания – описание свойств объекта в виде совокупности математических зависимостей.

2. Модель решения – система математического моделирования соотношений, позволяющих найти решение поставленной задачи. Существует несколько альтернативных типов этой модели:

а) аналитическая модель решения – явное выражение, позволяющее вычислить искомую величину;

б) численная – запись решения в виде численных схем, позволяющих найти решение в виде набора чисел;

в) имитационная – переложение на язык ЭВМ набора формальных правил функционирования объекта исследования при заданном входном воздействии.

3. Алгоритмическая модель – реализация модели решения в виде алгоритма.

4. Программная модель – реализация алгоритмической модели на языке программирования.

Если при разработке какой-либо из перечисленных форм возникают альтернативные варианты моделей, то появляется необходимость в реализации процедур синтеза, анализа, принятия решения.

Задание. (Исходные данные в приложении 1.)

1. Построить аналитическую модель описания для указанного критерия.

2. Выбрать аналитическую, численную или имитационную модель решения. Обосновать выбор. Если необходима аналитическая модель, то записать для конкретного критерия.

3. Решить задачу с помощью MathCAD, построить график.

4. Записать результат: Q, r и h.

Пример расчета

Условие. Необходимо спроектировать емкость заданной вместимостью V₀ оптимальных размеров: r – радиуса основания и h – высоты, имеющую форму прямого цилиндра с кромкой по периметру верхнего основания заданной высоты h₀. В качестве критериев оптимальности можно выбрать любой из параметров (или оба одновременно):

S = S_бок + 2S_осн – площадь поверхности емкости;

L = 2L_осн + (h +h₀) – длина сварного шва.

На поверхность затрачивается листовой материал, а при сваривании расходуются электроэнергия, электроды и т. д., то в целях экономии значения, оба критерия должны быть минимальны. Кроме того, станок, на котором будет реализован заказ, позволяет вырезать днище ограниченного радиуса: R1 <r<R2.

Решение

1. Составление аналитической модели описания.

Обозначим Q - выбранный критерий оптимальности (S или L). Возможны два варианта структуры модели:

а) Двухпараметрическая

Q(r, h) ® min (1)

V(r, h) = V₀ (2)

R1 <r<R2. (3)

Необходимо учитывать условный минимум функции двух переменных.

б) Однопараметрическая

h = h(r,V₀) (4)

подставим в (1), получим

Q(r, h(r, V₀)) ®min. (5)

Требуется найти минимум функции одной переменной на отрезке.

Проверим анализ каждого варианта. Очевидно, что вторая модель лучше с позиций критерия экономичности, если существует аналитическое решение уравнения (2) в виде (4). В этом случае выбрать надо модель описания (б), т. к. по остальным критериям обе модели эквивалентны. В противном случае надо остановиться на модели (а). В предлагаемой задаче решение (4) существует, поэтому в дальнейшем рассматривается однопараметрическая модель. Для параметрического синтеза модели описания надо в выражения (3) – (5) при конкретном критерии оптимальности подставлять указанные в вариантах задания значения V₀, h₀, R1, R2.

2. Разработка модели принятия решения.

Минимум функции, как известно, достигается в стационарной точке, т. е. где

. (6)

Возможны следующие варианты:

1) Стационарная точка принадлежит интервалу [R₁, R₂] и аналитическое решение уравнения (6) существует. В этом случае необходимо применять аналитическую модель решения, т. к. с точки зрения точности и экономичности она лучше.

2) Стационарная точка принадлежит интервалу [R₁, R₂] и аналитического решения уравнения (6) не существует, или не приемлемо с позиции критерия экономичности. В этом случае необходимо применять численную модель решения.

3) Стационарная точка не принадлежит интервалу [R₁, R₂]. Это означает, что как аналитическая, так и численная модели, основанные на уравнении (6), не адекватны объекту моделирования и необходима имитационная модель.

Таким образом, для выбора модели решения необходимо проверить выполнение условия (3). Это можно сделать с помощью леммы Больцмана - Коши: если

(7)

то на отрезке (3) есть хотя бы одна стационарная точка. Для проверки отношения (7) надо найти производную dQ/dR , вычислить ее значение при r=R₁ и r=R₂ и определить, знаки полученных значений. Если (7) выполняется, то используется аналитическая или численная модель в зависимости от существования аналитического решения уравнения (6). Если же хотя бы одно из условий не верно, то нужна имитационная модель.

3. Решение задачи в MathCAD.

Пусть необходимо оптимизировать критерий S:

S = 2πr (h+h₀)+2πr²®min.

В выражение для критерия оптимальности подставим формулу и приведем подобные. Записываем критерий оптимальности в MathCAD: S(r):= 2πr (V₀/(πr²)+h₀)+2πr² при помощи панели «Арифметика» (рис. 1).

Рис. 1. Панель «Арифметика»

Для построения графика, полученного решения, достаточно в панели инструментов «График» дважды щелкнуть кнопку «Вычерчивание X-Y» (рис. 2).

Рис. 2. Макет графика

Для построения графика в позиции оси абсцисс и ординат необходимо ввести обозначение столбцов параметра и функции (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость критерия оптимальности

Записываем формулу при условии V₀ = 7 и начальное значение радиуса:

.

В блоке Given записываем ограничения на значение радиуса. Затем переменной z присваиваем минимум функции S(r) при помощи функции Minimaze, которая находится на панели инструментов (рис. 4):

Рис. 4. Панель инструментов

Затем для получения решения записываем z = и нажимаем Enter. После этого полученное значение подставляем в выражения для S и h.

Given

r £ 1.5,

r ≥ 0.5,

z := Minimize(S,r),

z =0.708,

S(0.708) = 13.342,

h(0.708) = 4.445.

Контрольные вопросы и задания

1. Перечислите основные модели решения.

2. Назовите основные этапы моделирования.

3. По каким критериям оценивается модель?

4. Рассказать о структурном и параметрическом синтезе модели.

5. Какие вам известны варианты структуры модели? Как перейти от одного вида модели к другому?

6. Как построить график в MathСAD?

Лабораторная работа № 2

Модель идеального смешения

Цель работы: изучить реальные процессы, которые могут быть аппроксимированы при исследовании модели идеального смешения.

Теоретические сведения

Моделью идеального смешения описываются процессы, происходящие в цилиндрических аппаратах со сферическим дном в условиях больших скоростей перемешивания и при наличии отражающих перегородок.

Она относится к классу моделей с сосредоточенными параметрами. Для таких моделей характерно постоянство перемешивания в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения или дифференциальные уравнения 1-го порядка для нестационарных процессов.

Модели идеального смешения соответствует аппарат, в котором поступающее в него вещество мгновенно распределяется по всему объему аппарата. Концентрация вещества в любой точке аппарата равна концентрации на входе из него.

Зависимость концентрации вещества в потоке жидкости на входе в аппарате идеального смешения c_вх и выходе их него c_вых (рис. 1) имеет вид

, (1)

где c_вх - концентрация вещества на входе, кмоль; с_вых - концентрация вещества на выходе, кмоль; V - вместимость аппарата, м³; n - объемный расход потока через аппарат, . Для решения дифференциального уравнения (1) начальным условием является следующее: в начальный (нулевой) момент времени в аппарате начальная концентрация была равна некоторому начальному значению c_н, т. е. с(0) = с_н.

В лабораторных условиях для исследования изменения концентрации вещества в потоке на выходе из аппарата, используют два различных приема: если на входе аппарата импульсное возмущение и при этом применяется метод вымывания и если на входе ступенчатое введение индикатора со скачкообразным изменением концентрации.

При импульсном введении индикатора в количестве g он мгновенно распределяется по всему объему аппарата и затем начинается его вымывание. Изменение концентрации на выходе потока из аппарата описывается уравнением

,

где с_н - начальная концентрация, ; t - исследуемый интервал времени; - среднее время пребывания частиц потока в аппарате, .

Если на вход аппарата подано ступенчатое воздействие, т. е. скачкообразное изменение концентрации в момент времени t = 0 от c = 0 до c = c_вх , то уравнение изменение концентрации на выходе потока из аппарата примет вид

.

Аппарат идеального смешения может быть аппроксимирован апериодическим звеном первого порядка с передаточной функцией

,

где Т₁ - постоянная времени объекта, .

Задание.(Исходные данные в приложении 2.)

1. Составить аналитическую модель описания процесса.

2. Составить модель решения и записать ее в аналитическом виде.

3. Получить решение.

4. Построить графическую интерпретацию полученного решения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: