Модели с недогруженным резервом

Рисунок 10

Формулы (1) - (4) не допускается применять для анализа надежности систем с ненагруженным резервом. Если при эксплуатации оба элемента имеют постоянную интенсивность отказа и при резервировании имеют нулевую интенсивность отказа, то формула для ВБР системы имеет вид

= ( )

Если имеется п элементов в резерве, эта формула принимает вид

Структурная схема надежности системы должна включать блоки, представляющие надежность выключателя, который часто является «слабым местом» систем с резервированием.

Следует также обратить внимание на то, что в отличие от всех примеров, рассмотренных выше, ВБР элемента В зависит от времени, когда элементе откажет. Другими словами, отказы элементов А и В не могут оцениваться как независимые. Таким образом, для анализа резервированной системы должны использоваться другие процедуры, такие как Марковский анализ.

Более сложные модели

Общие процедуры

Формулы для определения ВБР систем, структурная схема надежности которых представляет собой комбинацию структурных схем надежности систем, рассмотренных в разделе 7, определяются на основе формул (1) - (7). Однако для некоторых систем ВБР не могут быть определены по вышеупомянутым формулам. Такие системы являются более сложными и для них должны использоваться более сложные методы анализа надежности. Следует заметить, что для оценки ВБР может использоваться метод Монте-Карло, но такие методы не рассматриваются в настоящем стандарте.

Стандарт распространяется на процедуры, которые используют предположение о независимости в соответствии с 7.1.

Использование правила условной вероятности

При работе со структурной схемой, изображенной на рисунке 8, используют другие методы. Один из таких методов состоит в том, чтобы повторно использовать следующее соотношение:

R_S = P_r(SS½X работоспособный)Р_r(X работоспособный) + P_r(SS½X отказавший) ´ P_r (SS½X отказавший),

где R_S - ВБР системы; P_r(SS½X работоспособный) - ВБР системы, при условии, что блок Х работоспособен; P_r(SS½X отказавший) - ВБР системы, при условии, что элемент Х отказал.

Например, если на рисунке 8 элемент А отказал, структурная схема системы преобразуется в структурную схему, изображенную на рисунке 11.

Рисунок 11

Поэтому P_r(SS½отказавший) = R_B1R_C1 + R_B2R_C2 - R_B1R_C1R_B2R_C2

Если элемент А работоспособен, структурная схема системы преобразуется в структурную схему, изображенную на рисунке 12.

Рисунок 12

Поэтому P_r (SS½А работоспособный) = R_C1 + R_C2 - R_C1R_C2

Следовательно:

R_S = (R_C1 + R_C2 - R_C1R_C2) R_A + (R_B1R_C1 + R_B2R_C2 - R_B1R_C1R_B2R_C2) ´ (1 - R_A)

Если R_C1 = R_C2 = R_C и R_B1 = R_B2 = R_B, то вышеупомянутая формула упрощается до вида

, (8)

Вышеупомянутый метод допускается применять для проверки формул (5)-(7).

Использование Булевых таблиц

Общие положения

Пути работоспособности, изображенные с помощью структурной схемы надежности, могут быть описаны Булевыми формулами. Например, три элемента A, В и С, соединенные параллельно (для работы системы достаточно одного работоспособного элемента), могут быть представлены структурной схемой надежности, изображенной на рисунке 13, или описаны Булевым выражением:

SS = AÈВÈС, (9)

где SS - событие, состоящее в том, что система находится в работоспособном состоянии;

А, В и С - события, состоящие в том, что компоненты А, В и С находятся в работоспособном состоянии.

Рисунок 13

Однако Булевы события А, В и С в формуле (9) не могут быть заменены вероятностями. R_A, R_B, R_С для получения формулы для определения ВБР системы, потому что выражение (9) является набором «пересекающихся» событий. Выражение (9) можно записать как сумму непересекающихся событий следующим образом

, (10)

С позиций Булевой алгебры выражения (9) и (10) идентичны. Однако в выражении (10) каждая буква А, , В, , С, может быть заменена соответствующим знаком ВБР - R_A(1 - R_A), R_B(1 - R_B), R_C(1 - R_C)

Для ВБР системы получаем следующую формулу

R_S = R_A (1 - R_B)(1-R_C) + (1-R_A) R_B (1-R_C) + (1-R_A)(1-R_B) R_C + R_A (1-R_B) R_C + R_AR_B (1-R_C) + (1-R_A) R_BR_C + R_AR_BR_C, (11)

Каждый более простой способ записи выражения (9) с помощью непересекающихся событий имеет вид:

, (12)

Таким образом,

R_S = R_A + (1 - R_A)R_B + (1 - R_B)(1 - R_A)R_C, (13)

Упрощенные выражения (11) и (13) идентичны.

Процесс вывода формулы (11) может быть выполнен более подробно с применением таблицы истинности (таблица 1) для преобразования выражения (9) в выражение (10).

Таблица 1

Двигаясь по таблице сверху вниз, можно записать следующие выражения для определения работоспособных состояний системы:

Формула (10) является логическим объединением этих событий.

8.1.2.2 Применение таблицы истинности для примера структурной схемы, изображенной на рисунке 8. Перечисления всех комбинаций работоспособных и отказавших элементов системы приведены в таблице 2.

Таблица 2

По таблице 2 можно выбрать комбинации работоспособных элементов и записать выражение для ВБР системы с помощью противоположных событий

, (14)

Из выражения (14) следует, что

R_S = (1 - R_B1)(1 - R_B2)(1 - R_C1) R_C2R_A + (1 - R_B1)(1 - R_B2) R_C1(1 - R_C2)R_A +,…,+ R_B1R_B2R_C1R_C2R_A

Выражение (14) содержит 19 событий, соответствующих комбинациям работоспособности системы, которые необходимо суммировать, чтобы получить искомый результат. Из приведенного примера легко заметить, что выражение для ВБР, полученное на основе Булева подхода, очень скоро может стать необозримым.

Модели с общими блоками

В структурной схеме надежности систем, рассмотренных в разделе 7, ни один из блоков не используется более одного раза. Это может быть удобно при построении структурной схемы надежности системы, изображенной на рисунке 14. Например, элементы С и D могли бы быть функционально подобными элементами, действующими по отношению друг к другу как дублирующие элементы, но элемент D может быть подключен только элементом В. учитывая, что элемент В подает питание к С и D. На рисунке 14 изображено не только физическое расположение элементов, но и структурная схема надежности. В такой структурной схеме важно направление стрелок.

Рисунок 14

Работоспособность системы в вышеуказанном случае может быть представлена в соответствии со структурной схемой надежности, в которой некоторые блоки входят более одного раза, как изображено на рисунке 15. Эта структурная схема была получена на основе структурной схемы надежности системы, приведенной на рисунке 14, на основе его анализа и выделения пар элементов, одновременный отказ которых приводит к отказу системы. Таким образом, рисунок 15 представляет собой последовательную комбинацию таких пар элементов.

Рисунок 15

При работе со структурной схемой подобного типа неправильно обрабатывать блоки как независимые пары и затем перемножать ВБР пар. Вместо этого необходимо использовать любой из методов, приведенных в 8.1.1 и 8.1.2.

Например, используя метод, описанный в 8.1.1, получаем:

R_S = P_r (SS½B работоспособный) Р_r (В работоспособный) + P_r (SS½B отказавший) P_r (В отказавший),

где P_r (SS½В работоспособный) задается в соответствии со структурной схемой надежности, включающей параллельные блоки С и D поскольку

Pr (SS½B отказавший) = P_r (SS½B отказавший½С работоспособный) ´ Р_r (С работоспособный) + P_r (SS½B отказавший½С отказавший) Р_r (С отказавший) = R_AR_C + 0

Следовательно, R_S = (R_D + R_C - R_DR_C) R_B + R_AR_C (1 - R_B) = R_AR_C + R_BR_C + R_BR_D - R_AR_BR_C - R_DR_BR_C.

На рисунках 14 и 15 представлены различные способы моделирования одного и того же определения отказа. А именно, отказ системы происходит тогда, когда отказали блоки A и B или B и C, или C и D. Другими словами, Булевы выражения для описания работоспособности системы SS или отказа системы C будут одними и теми же для обоих рисунков 14 и 15:

Применяя метод, приведенный в 8.1.2, получаем данные, приведенные в таблице 3.

Таблица 3

При помощи таблицы 3 можно записать следующее выражение для ВБР

R_S = R_AR_BR_CR_D + R_AR_BR_C(1 - R_D) + R_AR_B(1 - R_C)R_D + R_A(1 - R_B)R_CR_D + R_A(1 - R_B)R_C(1 - R_D) + (1 - R_A)R_BR_CR_D + (1 -R_A)R_BR_C(1 - R_D) + (1 - R_A)R_B(1 - R_C)R_D

Это выражение можно упростить до вида

R'_S = R_AR_B + R_BR_D + R_BR_C - R_AR_BR_C - R_DR_BR_C

Другой метод, использующий общие блоки, состоит в следующем: сначала игнорируют факт, что некоторые блоки появляются более одного раза, и записывают выражение для ВБР R'_S

R'_S = (R_A + R_B - R_AR_B)(R_B + R_C - R_BR_C)(R_C + R_D - R_CR_D)

Если скобки перемножить и члены, подобные R_AR_BR_C² и R_DR_B R_C², заменить на Булевы эквиваленты R_AR_BR_C и R_DR_BR_C соответственно, тогда выражение для ВБР системы R_S можно упростить до следующего

R_S = R_AR_C + R_BR_D + R_BR_C - R_AR_BR_C - R_DR_BR_C

8.3 Модели т из п (неидентичные элементы)

Рисунок 16

Метод определения ВБР, приведенный в 7.2.3, в этом случае не применим. Как пример рассмотрим систему, представленную структурной схемой надежности, изображенной на рисунке 16.

ВБР такой системы определяют методами, приведенными в 8.1.1 или 8.1.2. Метод, приведенный в 8.1.2, требует 32 входа. При этом вероятность отказа системы F_S может быть определена по следующей формуле

F_S = (1 - R_A)(1 - R_B)(1 - R_C)(1 - R_D)(1 - R_E) + (1 - R_A) (1 - R_B) (1 - R_C) (1 - R_D) R_E + (1 - R_A)(1 - R_B)(1 - R_C) R_D(1 - R_E) + (1 - R_A)(1 - R_B)R_C(1 - R_D)(1 - R_E) + (1 - R_A)R_B(1 - R_C)(1 - R_D)(1 - R_E) + R_A(1 - R_B)(1 - R_C)(1 - R_D)(1 - R_E)

ВБР системы определяют по формуле

R_S = (1 - F_S).

Примечание -В настоящее время появились более эффективные методы определения ВБР для рассматриваемого случая.

Метод редукции

Иногда структурные схемы выглядят очень сложными. Но исследование позволяет сгруппировать блоки в более управляемые элементы; такие элементы должны быть статистически независимыми. Это означает, что никакие два (или более) управляемые элемента не могут содержать блок с одинаковым обозначением. Пример подобной структурной схемы изображен на рисунке 17.

Рисунок 17

Приведенная на рисунке 17 структурная схема может быть упрощена до изображенной на рисунке 18а путем оценки надежности четырех блоков X1, Х2, Х3, Х4 в соответствии с 8.1, 7.2.3, 8.2 и 7.2.3 соответственно. Структурная схема, изображенная на рисунке 18а может быть редуцирована до структурной схемы, изображенной на рисунке 18b.

Рисунок 18

Следовательно, ВБР системы, структурная схема которой соответствует изображенной на рисунке 18b, определяют в соответствии с 7.2.2 по формуле

R_S = R_X1R_X2 + R_X3R_X4 - R_X1R_X2R_X3R_X4

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: