Описание производства с помощью технологического множества

Глава 6. Математические модели экономического роста и благосостояния

Описание производства с помощью технологического множества

Продолжим изучение моделей сбалансированного роста экономики на более общем уровне и перейдем к близким к ним моделям экономического благосостояния. Последние, как и модели роста, относятся к нормативным моделям.

Говоря об экономике благосостояния, имеют в виду такое ее развитие, когда все потребители равномерно достигают максимума своей полезности. Однако на практике такая идеальная ситуация имеет место довольно редко, так как благосостояние одних достигается часто за счет ухудшения состояния других. Поэтому более реально говорить о таком уровне распределения благ, когда ни один потребитель не может увеличить свое благосостояние, не ущемляя при этом интересов других потребителей.

Если вдоль траектории равновесного роста ни один потребитель, как и ни один производитель, не может приобрести больше без дополнительных затрат (отсутствие прибыли в состоянии равновесия), то при развитии экономики по траектории такого «благосостояния» ни один потребитель не может стать богаче, не обедняя при этом другого.

Из предыдущего раздела следует, что учет временных факторов в математических моделях экономики помогает обнаружить вполне логичную связь экономических процессов с естественным ростом производственных и потребительских возможностей. В условиях линейных моделей при некоторых предположениях темп такого роста равен проценту капитала и соответствующий процесс расширения экономики характеризуется сбалансированным ростом интенсивностей выпуска всех продуктов и сбалансированным снижением их цен. В этом разделе сформулируем общую динамическую модель производства, охватывающую ранее рассмотренные линейные модели, как частные случаи, и изучим в ней вопросы сбалансированного роста.

Общность рассматриваемой здесь модели заключается в том, что производственный процесс описывается не посредством производственной функции вообще, и линейной производственной функции (как в моделях Леонтьева и Неймана) в частности, а с помощью так называемого технологического множества.

Технологическое множество (обозначим его символом ) - это множество таких преобразований экономики, когда производство продукции при затратах технологически возможно в том и только в том случае, когда . Пара называется производственным процессом, поэтому множество представляет собой множество всех производственных процессов, возможных при данной технологии. Например, в модели Леонтьева технологическое множество j-ой отрасли имеет вид где - валовый выпуск j-го товара, а - j-ый столбец технологической матрицы A. Поэтому технологическое множество в модели Леонтьева в целом есть а в модели Неймана -

В производственном процессе , вообще говоря, могут содержаться такие продукты, которые одновременно и затрачиваются, и выпускаются (например, горюче-смазочные материалы, мука, мясо и т.д.). В экономико-математических моделях для большей общности часто допускается, что каждый продукт из может и затрачиваться, и выпускаться (например, в моделях Леонтьева и Неймана). В этом случае векторы x и y имеют одинаковую размерность, и их соответствующие компоненты обозначают одни и те же продукты.

Пусть - затрачиваемый объем i-го продукта, а - его выпускаемый объем. Тогда разность называется чистым выпуском в процессе . Поэтому вместо производственного процесса часто рассматривают вектор чистого выпуска, характеризуя эту разность как поток (или интенсивность), т.е. величину чистого выпуска в единицу времени. При этом технологическое множество понимается как множество всевозможных чистых выпусков. а вектор называется процессом с потоком.

Перечислим некоторые свойства технологического множества, которые являются отражением фундаментальных законов производства.

1. Закон постоянства выпуска от масштаба производства: для любого числа Это свойство обобщает однородность производственной функции (см. раздел 3.2), где - масштаб изменения производства. Содержательно оно означает, что пропорциональное увеличение (уменьшение) затрат приводит к соответствующему пропорциональному увеличению (уменьшению) выпуска.
2. Выпуклость технологического множества: для и выпуклая комбинация принадлежит множеству . Здесь веса и имеют смысл интенсивности процессов и соответственно, а сама выпуклая комбинация отражает совместное функционирование этих производственных процессов.
3. Неосуществимость «рога изобилия»: если , то из следует , т.е. выпуск без затрат невозможен. В потоковом понимании это свойство выглядит так: если , то из следует
4. Необратимость производственных процессов: если , то Содержательный смысл этого свойства очевиден. В терминах потоков оно выглядит так: если , то . Причиной необратимости на практике является наличие невоспроизводимых факторов производства.
5. Замкнутость технологического множества, т.е. возможность применения и «крайних» режимов производства.
6. Бездействие: . Целесообразность такого допущения следует из того факта, что при любой технологии бездействие возможно.
7. Свободное расходование: из , , следует . Это свойство отражает нерациональное использование затрат.

Разные производственные процессы в можно сравнивать как по эффективности, так и по прибыльности.

Говорят, что процесс более эффективен, чем процесс , если , . Процесс называется эффективным, если в не содержатся более эффективные процессы, чем .

Пусть - вектор цен. Говорят, что процесс более прибыльный, чем процесс , если величина не меньше, чем величина .

Эти два варианта натуральной и стоимостной оценки процессов оказываются фактически эквивалентными.

Теорема 6.1. Пусть - технологическое множество. Тогда a) если при векторе цен процесс максимизирует прибыль на множестве , то является эффективным процессом; b) если выпукло и - эффективный в процесс, то существует такой вектор цен , что прибыль достигает максимума при

Определим структуру технологического множества для тех моделей, которые учитывают фактор времени. Рассмотрим период планирования с дискретными точками Пусть в год (т.е. в начале планового периода ) экономика характеризуется запасом товаров В этом случае говорят, что экономика находится в состоянии . К концу периода экономика достигает другого состояния , которое предопределено предыдущим состоянием. В этом случае говорят, что реализован производственный процесс где - заданное технологическое множество. Здесь вектор рассматривается как затраты, осуществляемые в начале периода , а - как соответствующий этим затратам выпуск, производимый с временным лагом в один год. На следующих этапах производства имеем и т.д. Таким путем осуществляется динамика развития экономики. Подобное движение экономики является самоподдерживающимся, так как продукты в системе воспроизводятся без какого-либо притока извне.

Конечная последовательность векторов называется допустимой траекторией экономики (описываемой технологическим множеством Z) на интервале времени , если каждая пара двух ее последовательно идущих членов принадлежит множеству Z, т.е.

Обозначим через множество всех допустимых траекторий на интервале соответствующих начальному состоянию

Пусть Траектория называется более эффективной, чем , если Траектория называется эффективной траекторией, если в не содержится более эффективной траектории, чем . Траектория называется более прибыльной, чем , если

Для каждого непустого множества обозначим

Лемма 7.1. Справедливы следующие утверждения: 1) если - ограниченное множество, то является ограниченным множеством; 2) если - компактное множество, то является компактным множеством; 3) если S выпукло, то выпукло.

Используя эту лемму можно доказать следующую теорему.

Теорема 6.2. Пусть - множество допустимых траекторий экономики, описываемой технологическим множеством Z. Тогда a) если - эффективная траектория, то существует вектор цен такой, что траектория более прибыльна, чем другие траектории в ; b) если , то существует эффективная траектория, которая является более прибыльной, чем остальные траектории из .

Из этой теоремы следует существование в эффективной траектории.

Допустимые траектории можно оценивать (сравнивать) не только по эффективности и прибыльности, но и по другим критериям. Для этого на множестве допустимых траекторий определяется числовая функция которая каждой траектории ставит в соответствие число характеризующее качество траектории . Оптимальной называется траектория , такая, что

(6.1.1)

Очевидно, что оптимальность является более широким понятием, чем эффективность.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: