Преобразования эквивалентности

К проблемам управляемости и наблюдаемости можно подойти с другой стороны. В качестве описания линейного стационарного объекта мы рассматривали систему уравнений (1.94):

Здесь первое уравнение описывает динамику системы, а второе – уравнение наблюдения. "Живыми" переменными здесь являются лишь входное управляющее воздействие u_k и наблюдаемый выход z_k. Переменная состояния х является, в общем случае, произвольной, так как она зависит от базиса (системы координат), в котором рассматривается движение системы. При рассмотрении поведения системы можно переходить из одного базиса к другому с помощью линейного преобразования. Единственное требование сохранения эквивалентности систем в различных базисах – неособенность используемого преобразования (это требование обеспечивает взаимную однозначность преобразования, так как в этом случае, кроме основного преобразования, существует также и обратное). Итак, используя неособое линейное преобразование Т, перейдем в уравнениях (1.94) из исходного базиса х к другому:

Уравнения, описывающие систему в новом базисе, принимают вид:

где новые матрицы связаны с исходными следующими соотношениями:

Система уравнений (1.106) при условии (1.105) эквивалентна исходной системе (1.94) относительно входа и выхода. Это значит, что при подаче на вход обеих систем одной и той же последовательности u_k при эквивалентных начальных условиях (1.106) на выходе обеих систем получатся одинаковые выходные последовательности z_k. Этот факт проиллюстрирован рисунком 1.11. Эквивалентность этих систем означает, что, если мы наблюдаем только входные и выходные последовательности, нельзя понять, какой из выходов относится к какой из систем (1.106) или (1.94).

Теперь можно сформулировать понятия управляемости и наблюдаемости следующим образом.

Система (1.94) является полностью управляемой, если она не эквивалентна (не может быть преобразована неособым преобразованием) системе:

где размерность вектора x⁽¹⁾ равна n₁, а вектора x⁽²⁾ – (n-n₁).

Другими словами, система является полностью управляемой, если нельзя указать такой базис, при котором уравнения (1.94) разбиваются на две группы так, что в уравнения второй группы не входят ни переменные состояния первой группы, ни управления (Рис. 1.12).

В отношении наблюдаемости справедливы аналогичные утверждения. Система (1.94) называется полностью наблюдаемой, если она не эквивалентна системе вида:

Другими словами, полностью наблюдаемой является система, для которой нельзя указать такой базис, при котором уравнения (1.94) разбиваются на две группы так, что переменные состояния второй группы не входят в уравнения первой группы и не участвуют в формировании выходных наблюдаемых переменных (рис. 1.13).

В реальной системе возможны различные сочетания частичной управляемости и наблюдаемости системы. Общий случай графического представления системы с этой точки зрения представлен на рис. 1.14.

Из рисунка видно, что в общем случае система может содержать четыре части, исчерпывающие все возможные сочетания свойств:

I. управляемую, но не наблюдаемую часть,

II. управляемую и наблюдаемую часть,

III. неуправляемую и ненаблюдаемую часть и

IV. неуправляемую, но наблюдаемую часть.

Это означает, что в пространстве состояний системы существует базис, в котором переменные состояния разбиваются на четыре группы, изображенные на рис. 1.14.

Уравнение системы (1.94) принимает в этом случае блочный вид:

Здесь использованы следующие обозначения:

Конечно, проблема преобразования исходной системы к виду (1.110) носит скорее абстрактный характер, так как не существует простых конструктивных алгоритмов нахождения таких преобразований. Принципиальное же значение такого представления трудно переоценить.

Если необходимо исследовать конкретную систему, можно построить схему нахождения какой-либо из специфических ее частей. При синтезе системы, можно исходить из структуры (1.110) для получения желаемых характеристик системы.

Основное же назначение представления (1.110) – дать наглядное представление о таких свойствах системы, как управляемость и наблюдаемость.

Контрольные вопросы к разделам 1.2 и 1.3

1. Какова точность перехода от непрерывной модели объекта к дискретной?

2. Понятие управляемости.

3. Понятие наблюдаемости.

4. Условие управляемости.

5. Условие наблюдаемости.

6. Может ли быть система наблюдаемой, но не управляемой?

7. Частично наблюдаемая система.

8. Частично управляемая система.

9. Преобразование эквивалентности.

10. Системы, эквивалентные по входу и выходу.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: