Векторные и числовые последовательности. Понятие сходимости. Теорема о единственности предела.

Числовойпоследовательностью является 1,3,5,7,9,....

Числа, записанные в последовательности, называются членами последовательности. Обычно их обозначают маленькими буквами, например, a1,a2,a3,...,an,..., где индекс 1,2,3,4,...,n,... после буквы a указывает на порядковый номер каждого члена последовательности.

Общий вид последовательности, это (an) или a1,a2,a3,...,an,....

an называется общим членом последовательности или n-ым членом, где n - порядковый номер члена последовательности.

У натуральных чисел, считая от 1, десятый член последовательности, это a10=10.

Сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности или суммы бесконечного ряда или несобственного интеграла.

8. -!!- начало повторяется (7). Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).

Иначе говоря, числовая последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), если существует такое число

c принадлежит R, что для всех номеров n выполняется неравенство xn < c (соответственно неравенство xn > c).

Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Таким образом, числовая последовательность {xn} ограничена, если существуют такие числа a принадлежит R и b принадлежит R, что для всех номеров n выполняется условие a < xn < b. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число c > 0, что для всех номеров n имеет место неравенство

|xn| < c

Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху (снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой. Примером неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности (см. п. 5.1, определение 3). Следует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность

xn = (-1)nn + n неограниченная, но не бесконечно большая.

Теорема. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Пусть последовательность xn принадлежит R, n = 1, 2, ..., имеет конечный предел = a принадлежит R. Тогда согласно определению предела последовательности (см. п. 5.1, определение 1), взяв эпсилон = 1, получим, что существует такой номер n1, что для всех номеров n > n1 будет выполняться неравентсво |xn - a| < 1

(в определении предела последовательности можно взять любое эпсилон > 0; мы взяли эпсилон = 1). Обозначим через d наибольшее из чисел 1, |x1 - a|, ..., . Тогда, очевидно, в силу условия для всех

n принадлежит N будет иметь место неравенство |xn - a| < d, Это и означает, что последовательность {xn} ограничена.

Бесконечно малые последовательности. Свойства.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Свойства сходящихся последовательностей

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

Можно показать, что если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Заметим, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность {xn}: xn = (–1)n.

Теорема о трех последовательностях. Если последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что xn ≤ yn ≤ zn для всех n ≥ N, то последовательность {yn} сходится.

Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится.

Любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} называют соответственно последовательности {xn + yn}, {xn – yn}, {xn ∙ yn}, {xn / yn}. При определении частного предполагается, что yn ≠ 0 при всех n.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: