Числовые множества. Верхняя и нижняя грань. Теорема о сущствовании верхней грани.

Операции над ними.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

2. Понятие функция. Основные элементарные функции. Элементарная функция. Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Элементарные функции— функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций[1]:

алгебраические:

степенная функция с любым действительным показателем;

трансцендентные:

показательная и логарифмическая функции;

тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Основными элементарными функциямиявляются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Множество вещественных чисел

множество вещественных чисел— непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Расширенная числовая прямая. Окрестность точки. Лемма о непересекающихся окрестностях.

Расширенная числовая прямая(читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть

Бесконечности и , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами.

Окре́стность точки— множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Числовые множества. Верхняя и нижняя грань. Теорема о сущствовании верхней грани.

Числовые множества— это множества натуральных, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными над соответствующими множествами алгебраическими операциями и с заданным на каждом множестве отношении линейным порядком.

Пусть числовое множество X ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X включает R, называется его верхней гранью и обозначается sup X. Если числовое множество X ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X, называется его нижней гранью и обозначается inf X или ( от латинского слова infinum - наименьший).

Итак, beta = sup X, если, во-первых, число beta ограничивает сверху множество X, т. е. для всех x принадлежит X выполняется неравенство x < beta, а во-вторых, число beta является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X (т. е. если beta' < beta, то число beta' уже не ограничивает сверху множество X, а это означает, что существует такое x принадлежит X, что x > beta').

Таким образом, определение верхней граниможно перефразировать в следующем виде.

Определение 2'. Число называется верхней гранью числового множества X, если:

1) для любого x принадлежит X выполняется неравенство x < beta;

2) для любого beta' < beta существует такой x принадлежит X, что x > beta'

Аналогично, число alpha называется нижней граньючислового множества X, если:

1) для любого x принадлежит X выполняется неравенство x > alpha;

2) для любого alpha' > alpha существует такой x принадлежит X, что x < alpha (рис. 45).

Если во втором условии положить эпсилон = beta - beta' (соответственно эпсилон = alpha' - alpha), то это условие можно перефразировать следующим образом:

2') для любого эпсилон > 0 существует такой x принадлежит X, что x > beta - эпсилон (соответственно x < alpha + эпсилон).

Пример. Пусть a принадлежит R и b принадлежит R, a < b; тогда

sup [a, b] = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) = a

Принцип Архимеда.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: