Сделай Сам Свою Работу на 5

Общая методика определения точки пересечения прямой с плоскостью, линии пересечения плоскостей





 

Решение всякой задачи следует начинать с анализа заданных условий.

Из геометрии известно, что прямая и плоскость могут пересекаться или располагаться параллельно друг другу. Если прямая параллельна плоскости, искать общую точку для них не имеет смысла. И, как было отмечено выше, при параллельности двух плоскостей нет смысла искать линию их пересечения.

Поэтому приступая к решению этих задач, надо убедиться, что прямая не параллельна плоскости (т.е. в плоскости нет прямой, параллельной данной) и что плоскости не параллельны между собой (не имеют пар пересекающихся взаимно параллельных прямых).

Чтобы исключить разрывы пространства при его проецировании на плоскости проекций в начертательной геометрии точечное пространство (Эвклидово) дополняют несобственными элементами (бесконечно удаленными точками, прямыми, плоскостями и т.д.).

Поэтому некоторые определения и трактовки в Эвклидовой и начертательной геометрии могут звучать по-разному.

 

в Эвклидовой геометрии в начертательной геометрии
Всякая прямая определяется двумя ее точками (отрезок) или точкой и ее направлением Всякая прямая на чертеже определяется двумя ее точками, из которых одна может быть несобственной
Если две прямые не скрещиваются, то они пересекаются или параллельны друг другу Две не скрещивающиеся прямые всегда пересекаются в действительной или несобственной точке
Прямая может пересекать плоскость или располагаться параллельно плоскости Прямая всегда пересекает плоскость в действительной или несобственной точке
Две плоскости могут пересекаться или располагаться параллельно Две плоскости всегда пересекаются по действительной или несобственной прямой

 



Следует также отметить, что только один из видов чертежей – перспектива (в методических указаниях не рассматривается), основанный на центральном проецировании, позволяет отображать несобственные элементы в виде действительных точек, линий и т.д.

В данных методических указаниях разбираются чертежи, основанные на параллельном проецировании, исключающем определение несобственных элементов. Поэтому задания подобраны так, что все точки и линии пересечения должны помещаться в пределах чертежа.



Возвращаясь к рис.3 и 4 следует отметить, что приведенные выше рассуждения дают нам парадоксальный случай: чтобы найти линию пересечения плоскостей (рис.4), надо дважды находить линию пересечения вспомогательной плоскости γ1 с β, а в другом случае (рис.3) это надо делать четырежды: два раза для плоскости α, и два – для плоскости β.

Этот кажущийся парадокс легко разрешается при решении поставленной задачи методами начертательной геометрии.

Рассмотрим решение поставленной задачи на различных видах чертежа.

 

Ортогональный чертеж

 

Пусть требуется построить линию пересечения плоскостей α (ABC) и β (DEK). A (20, 10, 50), B (80, 80, 110), C (140, 50, 50), D (70, 80, 30), E (0, 40, 110), K (120, 0, 80).

Построение линии пересечения 2-х плоскостей на ортогональном чертеже значительно упрощается, когда хотя бы одна из плоскостей задана в частном положении (проецирующая или плоскость уровня). Эти плоскости обладают собирательным свойством, т.е. на соответствующую плоскость проекций все точки, линии, фигуры такой плоскости проецируются в одну линию (след плоскости).

На рис.5 показано нахождение линии пересечения 2-х плоскостей α и β, одна из которых (α) задана треугольником АВС, а β представлена в виде фронтально-проецирующей плоскости. Следовательно, фронтальная проекция искомой линии l=α Ç β совпадает со следом плоскости βV (l''≡βV), т.е. известна одна из проекций линии пересечения. Таким образом, задача сводится к определению второй проекции прямой l (l') из условия, что lÎα.



 

 

Рис.5

 

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки плоскости или хотя бы через одну точку, но параллельно некоторой прямой данной плоскости. Выделяем точки 1 и 2 – точки пересечения прямой l со сторонами АС и ВС (1''= l''Ç А''С'', 2''= l''Ç B''С''). Находим на проекции А'С' точку 1' и на проекции B'С' точку 2'. Искомая проекция l' включает в себя точки 1' и 2' (l' 1'2').

По заданным координатам точек строим проекции треугольников ABC Î α и DEK Î β (рис.6). Габариты чертежа по высоте определяются высотой точек (ZA=ZE=110) и глубиной (YB=YD=80).

Плоскости α (ABC) и β (DEK) являются плоскостями общего положения (на обеих проекциях треугольники не вырождаются в линию). Следовательно, при решении задачи надо использовать вспомогательные построения. Отметим, что высоты точек А и С равны (ZA=Zc=50). Следовательно, АС является горизонталью плоскости α на высоте 50.

 

 

Рис.6

 

Введем вспомогательную секущую горизонтальную плоскость уровня γ1 на высоте 50 мм. Ее след γ1V совпадает с А''С''. Плоскость γ1 пересекает плоскость α по горизонтали h1α, совпадающей с AC (h1α'' А''С'', h1α' А'С'). Плоскость β пересекается с γ1 по горизонтали h1β (h'' γ1V), которая определяется точками 1 и 2 (1''=K''D'' Ç γ1V, 2''=D''E'' Ç γ1V). Горизонтальные проекции этих точек принадлежат K'D' и D'E' соответственно.

h1β' É 1'2', h1β Ç h=F (h1β' Ç h'=F'Î А'С'=>F''Î А''С'').

Вводя вторую плоскость γ2γ1 на уровне точек В и Е (ZB=ZE), находим точку G Î l.

Плоскость γ2 пересекает плоскость α по горизонтали h2α В. Следовательно, В' Î h2α' h1α' (А'С'). Плоскость γ2 Ç β = h2β Е.Следовательно, Е' Î h' h'. h2α'Ç h' = G' и G'' Î γ2V.

Точки F и G определяют искомую линию пересечения плоскостей l (l'F'G', l''F''G'').

Поскольку плоскости α и β представлены отсеками в виде треугольников, то видимая часть линии пересечения определяется точками M и N (M=AB Ç l, N=DK Ç l). Видимость самих треугольников определяется по конкурирующим точкам скрещивающихся прямых.

На фронтальной проекции видимость определяется глубинами точек. Отметим, что глубины точек B и C преобладают над глубинами точек ΔDEK, а глубины точек D и E преобладают над глубинами точек ΔABC. Следовательно, на фронтальной проекции у ΔABC будет виден отсек C''B''M''N'', а у ΔDEK –отсек M''N''D''E''.

На горизонтальной проекции видимость определяется высотами точек. Сторона KE находится выше точек ΔABC, а вершина D ниже ΔABC. Следовательно, на горизонтальной проекции виден контур M'N'K'E'D' ΔDEK. Точка B расположена выше, а точка А ниже точек ΔDEK. Следовательно, виден контур N'M'B'C' ΔABC.

В данном случае определение линии пересечения FG (MN) выполнено с минимумом дополнительных построений. Выбор других вспомогательных секущих плоскостей увеличивает количество дополнительных точек и линий.

Другой способ определения искомой линии пересечения плоскостей сводится к нахождению точек пересечения прямых линий с плоскостью.

На рис.7 представлено решение задачи по определению точки пересечения прямой АВ с плоскостью ΔDEK [М=АВ Ç α (DEK)].

 

 

Рис.7

Для нахождения точки М прямую АВ заключаем во вспомогательную плоскость γ. В качестве такой принята горизонтально-проецирующая плоскость, горизонтальный след которой γН А'В'.

Определяем линию пересечения т плоскости γ с плоскостью α. Вследствие собирательного свойства проецирующей плоскости горизонтальная проекция искомой прямой совпадает со следом плоскости (γН т'). Следовательно, необходимо определить фронтальную проекцию искомой прямой (т'' из условия принадлежности прямой т плоскости α (ΔDEK)).

Выделяем точки 1' и 2' (1'=т' Ç K'D', 2'=т' Ç K'E') и находим их фронтальные проекции на соответствующих линиях плоскости α (1'' Î K''D'', 2'' Î K''E''). Точки 1'' и 2'' определяют фронтальную проекцию прямой (т'' 1''2''). Пересечение т'' с А''В'' определяет фронтальную проекцию искомой точки М (т''ÇА''В''= М''). Горизонтальная проекция искомой точки М' Î А'В'.

Принимаем отсек плоскости α (ΔDEK) непрозрачным и определяем видимость отрезка АВ по конкурирующим точкам соответствующих скрещивающихся прямых.

Видимость на горизонтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек 2 и 3 скрещивающихся прямых КЕ (2 Î KE) и АВ (3 Î АВ). Из чертежа видно, что высота точки 2 больше высоты точки 3. Следовательно, отрезок М'3' прямой АВ не виден, т.к. закрыт плоскостью α (ΔDEK). Отрезок В'М' находится над плоскостью (1'' Î K''D'') ниже соответствующей точки прямой АВ.

Видимость на фронтальной проекции определяем сопоставлением глубин конкурирующих точек. В качестве таких взяты точки 4Î и 5Î АВ. Из чертежа видно, что глубина точки 5 больше глубины точки 4. Следовательно, на фронтальной проекции отрезок В''М'' будет виден, т.к. прямая АВ находится перед плоскостью α.

Вернемся к определению линии пересечения плоскостей α и β (рис.8).

Чтобы определить линию пересечения отсеков плоскостей α (ABC) и β (DEK), находим точки пересечения М=АВ Ç α и N=DK Ç β.

Для этого заключаем прямую АВ во вспомогательную проецирующую плоскость γ. В данном случае плоскость γ – горизонтально-проецирующая, т.е. γH А'В' .

Плоскость γ пересекает плоскость β (DEK) по прямой m, но с учетом собирательного свойства проецирующей плоскости m'' γH. Прямая m Î β и определяется ее точками пересечения 1 и 2 со сторонами DK и EK. Определяем 1'=m' Ç D'K' и 2' =m' Ç E'K'. Находим фронтальные проекции этих точек 1'' Î D''K'' и 2'' Î E''K''. Проекция m''1''2''. т'' Ç А''В''=М'', т.е. определена фронтальная проекция точки встречи стороны АВ плоскости α с плоскостью β (DEK) – точка М' Î А'В'.

Определяем вторую точку линии пересечения плоскостей α и β – точку N,в которой сторона DK плоскости β врезается в плоскость α (ABC).

 

 

Рис.8

 

Прямую DK заключаем в горизонтально-проецирующую плоскость λ (λHD'K'). Горизонтальная проекция искомой линии пересечения плоскостей λ и α (n=λ Ç α) в силу собирательного свойства плоскости λ совпадает с ее следом (n'≡λH). Задача сводится к определению фронтальной проекции прямой nÎα. Выделяем точки 3'=n' Ç A'B' и 4'=m' Ç A'C' . Находим фронтальные проекции точек 3 (3''ÎA''B'') и 4 (4''ÎA''C''). Соединив точки 3'' и 4'', определяем n''. Пересечение n'' с D''K'' определяет фронтальную проекцию точки N (N''=n'' Ç D''K''). На D'K' находим N'. Прямая MN (M'N', M''N'') определяет линию пересечения отсеков плоскостей α (ABC) и β (DEK) в пределах контуров данных треугольников. Определение видимости треугольников было рассмотрено на рис.6.

Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что при задании плоскостей в виде отсеков плоских фигур второй способ позволяет сразу определить видимый отрезок линии пересечения плоскостей в пределах заданных фигур.

При решении задачи важно заранее определить, какие линии одной плоскости будут врезаться в другую плоскость. Для этого следует анализировать относительное положение элементов данных плоскостей.

В данном примере можно сразу понять, что точки M и N не могут принадлежать сторонам ВС и DE данных треугольников. Это видно по расположению горизонтальных проекций треугольников АВС и DEK (В'С' – вне ΔK'D'Е', D'Е' – вне ΔА'В'С').

Точки M и N не принадлежат КЕ, т.к. КЕ расположена выше соответствующих точек сторон ВС и АВ плоскости α.

Точки M и N не могут принадлежать АС, т.к. АС расположена ниже и дальше соответствующих точек сторон KD и DE плоскости β.

Остаются только стороны АВ и KD.

Точка В находится выше β, а точка А – за плоскостью β. Следовательно, АВ должна врезаться в плоскость β. Точка К находится за плоскостью α и выше ВС и АС, а точка D – перед α и ниже α. Следовательно KD врезается в плоскость α.

Эти выводы вполне совпадают с ранее приведенным чертежом на рис.6.

 

Аксонометрический чертеж

 

На рис.9 представлено решение задачи в аксонометрической проекции по определению точки пересечения прямой АВ с плоскостью α (DEK) по данным, приведенным на рис.7. Выбранный вид аксонометрической проекции – прямоугольная диметрия.

 

 

Рис.9

 

В аксонометрических проекциях каждая точка определяется своей вторичной проекцией на координатную плоскость (XOY), например, А' и аксонометрической проекцией (А).

На рис.9 по координатам x и y построена вторичная проекция плоскости α (проекция D'Е'K'), а затем точки подняты в пространстве на соответствующие высоты (zD, zE, zK).

DЕK определяет аксонометрическую проекцию отсека плоскости α (треугольник DЕK). Также построена вторичная проекция заданного отрезка (А'В') и его аксонометрическая проекция (АВ).

Для определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью α (DEK) заключаем АВ в проецирующую плоскость γ, так чтобы ее след совпал со вторичной проекцией прямой (γНА'В'.). Плоскость γ – горизонтально-проецирующая (γ Æ XOY). Второй ее след γ1OZ. Плоскость γ пересекает заданную плоскость по прямой m (m' γН). Аксонометрическая проекция прямой m определяется точками 1 и 2 (1ÎDK, 2ÎKE). Пересечение m с АВ определяет искомую точку М (М=тÇАВ), вторичная проекция которой принадлежит т' А'В'.

Сравнивая относительное положение точки 1 и соответствующей точки прямой АВ, видим, что отрезок МВ находится над плоскостью α (DEK) и, следовательно, на чертеже он виден. Кроме того по вторичной проекции можно понять, что точка А находится за плоскостью α (DEK). Следовательно, отрезок МА невидим.

На рис.10 представлен аксонометрический чертеж плоскостей α и β, представленный в прямоугольной диметрии. Ось OZ – вертикальная линия. Ось OX составляет с OZ угол 97010’. Ось OY составляет с OZ угол 131025’.

 

 

Рис.10

Как было отмечено выше, в аксонометрии всякая точка, линия, фигура определяется ее вторичной проекцией (аксонометрической проекцией ее основания) и самой аксонометрической проекцией. Поэтому строим сначала вторичную проекцию заданных треугольников на плоскость XOY (Н), используя координаты x и y заданных точек. Поскольку выбранный вид аксонометрии – прямоугольная диметрия, то размеры координат по оси OY уменьшаем в 2 раза. Получаем треугольники А'В'С' и D'Е'K'.

Из полученных вершин восстанавливаем перпендикуляры (параллельно OZ) и откладываем высоты точек.

Полученные треугольники АВС и DEK определяют аксонометрические проекции плоскостей α и β.

По вторичной проекции видим, что точка В находится перед, а точка А – за плоскостью β. Следовательно, АВ пересекает β в точке М. Прямую АВ заключаем в горизонтально-проецирующую плоскость γ, т.е. в плоскость, перпендикулярную плоскости вторичной проекции XOY (γН А'В'. Второй след плоскости γV OZ).

Плоскость γ пересекает β (DEK) по прямой т, вторичная проекция которой А'В'Îm' γН. т' пересекает D'K' в точке 1' и K'Е' в точке 2'. Эти точки переносим на аксонометрическую проекцию β (DЕK): 1ÎDK, 2ÎEK, 1,2Îm где т – аксонометрическая проекция линии пересечения плоскостей γ и β (γ Ç β=m).

При пересечении прямой m с АВ получаем точку М, которая принадлежит искомой линии пересечения плоскостей α и β (α Ç β=l).

По вторичной проекции треугольников видим, что точка D находится перед плоскостью α, а точка К – за α. На аксонометрической проекции треугольников видим, что точка D расположена ниже, а точка К выше ΔABC. Следовательно, пересекает плоскость β в точке N.

Для нахождения точки N прямую заключаем в горизонтально-проецирующую плоскость λ (λНD'K', λV O Z). На основе собирательного свойства плоскости λ вторичная проекция линии ее пересечения с плоскостью α совпадает с λН (D'K'În'=λН). n' пересекает А'В' в точке 3' 1' (n'ÇА'B'=1'), а сторону А'С' в точке 4' (n'ÇА'C'=4'). Поднимая эти точки в пространстве, находим их аксонометрические проекции (3ÎAB, 4ÎAC). Точки 3 и 4 определяют аксонометрическую проекцию линии пересечения плоскостей α и λ (α Ç λ=n É 3,4). Прямая n пересекает сторону в точке NÎl=α Ç β. Ее вторичная проекция находится на D'K'.

Соединив M с N, получаем искомую линию пересечения α и β. По вторичной проекции треугольников видно, что ВС находится перед плоскостью, а точка A – за плоскостью β. Следовательно, контур CBMN плоскости α будет видимым. Для плоскости β видимым контуром будет KEDNM.

На рис.11 представлено решение той же задачи с использованием случайных проецирующих плоскостей. В качестве таких использованы две плоскости γ и λ, параллельные W (YOZ).

Плоскость γ взята на широте точки D (γ D). Ее горизонтальный след γHOY. Плоскости γÇλ=m1,2 и γÇβ=nD,3(1ÎAB, 2ÎAC, 3ÎEK). Определив аксонометрические проекции этих точек, проводим прямые m и n, которые при своем пересечении определяют точку F (F=mÇn), общую для α и β (FÎl=αÇβ).

 

 

Рис.11

 

Плоскость λ взята на широте точки В (BÎλγ).). Следовательно, B'ÎλHγHOY. Плоскость λ пересекает плоскость α по прямой am (λÇα=a, BÎam) и λÇβ=bn (b4ÎKE). По вторичной проекции определяем 4'=K'E'Çb', находим ее аксонометрическую проекцию (4ÎKE). Через точку 4 проводим bn. Через BÎα (BÎλ) проводим am. Пересечение прямых a и b определяет точку G (λÇβ=G), принадлежащую линии пересечения плоскостей α и β.

Проведя через G и F прямую l, определяем точки M и N (M=lÇAB, N=lÇDK) видимой линии пересечения отсеков плоскостей α (ABC) и β (DEK).

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.