Подход к решению задач пересечения плоскостей и прямой с плоскостью в геометрии

Минобрнауки России

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тульский Государственный университет

Кафедра «Начертательной геометрии,

Инженерной и компьютерной графики»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ПО КУРСУ «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И Инженерная графика»

Раздел: «Начертательная геометрия»

«Техника чертежно-графических работ

С применением проекций с числовыми отметками»

Решение ключевых задач НГ

На различных видах проекционных чертежей

Для строительных специальностей

120700 (гр.3216…), 270100 (гр.3213…),

270800 (гр.3208…, 3209…, 3210…, 3211…, 3212…, 3217…)

Тула 2014г.

Разработали:

доц. каф. НГИКГ В.А. Розанов

к.т.н., доц. каф. НГИКГ Н.В. Васина

Утверждено на заседании кафедры НГИКГ факультета транспортных технологических систем политехнического института

протокол № 2 от « 20 » сентября 2011г.

Зав. кафедрой НГИКГ к.т.н., доц. Бородкин Н.Н.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Настоящее пособие предназначено для студентов строительных специальностей: 120700 «Землеустройство и кадастры» (гр.3216…), 270100 «Архитектура» (гр.3213…), 270800 «Строительство» (гр.3208…, 3209…, 3210…, 3211…, 3212…, 3217…), т.е. для специалистов, которым необходимы навыки работы с ортогональными и аксонометрическими чертежами, а также с чертежами в проекциях с числовыми отметками, позволяющими изображать земную поверхность и различные ее объекты.

Темой настоящей работы является решение одних из ключевых задач начертательной геометрии по определению точки пересечения прямой с плоскостью и линии пересечения плоскостей на различных видах чертежей.

Цели работы: показать, что при решении поставленных задач на любом виде проекционного чертежа можно пользоваться одними и теми же приемами.

ВВЕДЕНИЕ.

Подход к решению задач пересечения плоскостей и прямой с плоскостью в геометрии

Позиционные задачи на определение точки пересечения прямой и плоскости (М = l Ç α) и нахождения линии пересечения плоскостей (l = α Ç β) можно считать ключевыми задачами НГ, так как они лежат в основе образования модели пространства (чертежа).

Основой НГ является метод проецирования, предусматривающий получение проекций А_i' точек пространства А_i при их проецировании из некоторого центра S (S^∞) на некоторую плоскость П (рис.1).

Рис.1

При этом точки А_i' получаются в результате пересечения проецирующих лучей (прямых линий) А_iS с плоскостью П (А_i' = А_iS Ç П).

Обратимая модель пространства (проекционный чертеж) получается при проецировании точек пространства на систему двух связанных плоскостей П₁ и П₂ (рис.2) с последующим переводом изображения на одну плоскость.

Рис.2

Задание системы плоскостей проекций П₁П₂ предусматривает, что мы можем определять положение этих плоскостей относительно друг друга и, следовательно, можем находить линию пересечения Х₁₂ плоскостей П₁ и П₂ (Х₁₂=П₁ÇП₂).

Линия центров S₁S₂ пересекает плоскости проекций П₁ и П₂ в точках N и M, а проецирующая плоскость S₁S₂А пересекает плоскости проекций П₁ и П₂ по прямым КN и КM, с общей точкой К на линии пересечения Х₁₂ плоскостей П₁ и П₂.

При проецировании других точек надо выполнять аналогичные построения. Таким образом, чтобы спроецировать множество точек пространства на плоскость проекций, необходимо использовать пучок плоскостей (связку с общей линией S₁S₂).

При этом необходимо заранее определять взаимное положение плоскостей и строить их линию пересечения в тех случаях, когда это необходимо. Если плоскости располагаются параллельно друг другу, то они могут пересекаться только по несобственной прямой, лежащей в бесконечности. В этом случае бессмысленно пытаться определить на чертеже линию пересечения, пользуясь следующей методикой.

Пусть требуется определить линию l пересечения плоскостей α и β (рис.3, а).

α Ç β=l?

Для решения задачи вводим вспомогательную плоскость γ₁ (рис.3, б), которая пересекает плоскость α по линии а₁ (γ₁ Ç α = а₁), а плоскость β – по линии в₁ (γ₁ Ç β=в₁).

а) б) в)

Рис.3

Прямые а₁ и b₁ принадлежат одной плоскости γ₁. Следовательно, они пересекутся в некоторой точке М, которая будет принадлежать искомой линии пересечения плоскостей α и β, т.е. прямой l (М Î l). Действительно, точка М является точкой пересечения трех плоскостей α, β и γ₁, и эта точка должна принадлежать линии пересечения любой пары плоскостей МÎа₁=αÇγ₁, МÎb₁=βÇγ₁, МÎl=αÇβ.

Вводя другую вспомогательную плоскость γ₂ (рис.3, в), определяем прямую а₂=γ₂ Ç α и прямую b₂=γ₂ Ç β, которые при своем пересечении дают нам вторую точку N искомой линии пересечения плоскостей α и β.

Другой прием определения линии пересечения плоскостей α и β показан на рис.4.

В плоскости α выбираем произвольную прямую а₁ и определяем точку ее пересечения с плоскостью β (а₁ Ç β=М). Точка М будет принадлежать искомой прямой l, т.к. является общей точкой для а₁Îα и принадлежит плоскости β. Для определения точки М прямую а₁ заключаем во вспомогательную плоскость γ₁ (рис.4, б), которая пересекает β по линии b₁ (γ₁ Ç β=в₁). Пересечение прямых а₁ и b₁ определяет точку М Î l (а₁ Ç b₁=МÎl=α Ç β).

а) б) в)

Рис.4

Выбрав прямую а₂Îα (рис.4, в), определяем точку ее встречи с плоскостью β. Для этого заключаем прямую а₂ во вспомогательную плоскость γ₂. Находим b₂=γ₂ Ç β (рис.4, г). а₂ Ç b₂=NÎl=α Ç β.

Разница указанных приемов заключается в том, что на рис.3 используются случайные плоскости, включающие прямые а_i Ì α, которые определяются дальнейшим построением, а на рис.4 все построения привязаны к заранее выбранным прямым а_iÎα. Поэтому прием, указанный на рис.4, следует применять в тех случаях, когда плоскости (или хотя бы одна из них) заданы ограниченными отсеками.

Может оказаться, что произвольно выбранная прямая а_i будет пересекать плоскость β в несобственной точке S^∞, т.е. а_i‖β. Тогда искомая линия пересечения l (рис.4, в) будет проходить через М ‖ а_i т.е. определяется точкой М и направлением (l S^∞). Поскольку точка S^∞ лежит в бесконечности, искать ее можно только на чертежах, где несобственные точки изображаются собственными, т.е. в перспективе. На всех остальных чертежах прямые а₁ и а₂ выбирают так, чтобы они определяли действительные точки М и N искомой прямой l.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: