Электрическое поле в диэлектрике

Лекция 5

Граничные условия на поверхности раздела

Диэлектрик-диэлектрик

1.1. Условие для вектора

Пусть на границе раздела двух диэлектриков находится сторонний поверхностный заряд. Для нахождения условия будем использовать теорему о циркуляции вектора , т. е. , и теорему Гаусса для вектора , т. е.

.

Электрическое поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 обозначим через ₁, а в диэлектрике 2 - ₂. В качестве замкнутого контура L возьмем прямоугольник (рис. 1), стороны которого должны быть малой длины, чтобы в их пределах напряженность электрического поля Е в каждом диэлектрике была одинаковой, а высота - бесконечно малой.

Рис. 1

На основании теоремы о циркуляции вектора имеем

(Е_1t^*+ Е_2t) = 0,

где Е_1t^* и Е_2t - проекции вектора на единичный вектор касательной , взяты в направлении обхода контура (на рис. 1 указан стрелками). Если использовать в качестве общего единичный вектор , то Е_1t^* = - Е_1t. Тогда предыдущее равенство принимает вид

Е_1t = Е_2t. (1)

Вывод: Тангенциальная составляющая вектора одинакова по разные стороны границы раздела, т. е. не испытывает скачка.

1.2. Условие для вектора

Для нахождения условия для вектора в качестве замкнутой поверхности будем использовать малый цилиндр, чтобы в пределах каждого основания цилиндра вектор был одинаковым (рис. 2).

Используя теорему Гаусса для вектора , получаем

(D_1n^* + D_2n) DS = s DS,

где s - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела.

Рис. 2

С учетом того, что

D_1n^* = - D_1n

последнее равенство принимает вид:

D_2n - D_1n = s. (2)

Вывод: нормальная составляющая вектора испытывает скачок на границе раздела двух диэлектриков.

Если сторонние заряды отсутствуют на границе раздела, то D_2n = D_1n, (3)

т. е. нормальная составляющая вектора скачка не испытывает.

Следовательно, если на границе раздела двух диэлектриков нет сторонних зарядов, то при переходе через границу составляющие Е_t и D_n изменяются непрерывно, не испытывая скачка, а составляющие Е_n и D_t - испытывают скачок.

1.3. Преломление линий и

Рис. 3

При переходе через границу линии напряженности и линии электрического смещения преломляются (рис. 3).

Если на границе раздела нет сторонних зарядов, то из (1), (2) и (3) следует

Е_1t = Е_2t, e₁Е_1n = e₂Е_2n.

Согласно рис. 3 имеем

или

Рис. 4

. (4)

Следовательно, в диэлектрике с большим значением диэлектрической проницаемости (e₂ > e₁) линии напряженности и электрического смещения составляют больший угол с нормалью к границе раздела (рис. 4).

На рис. 4 приведено графическое изображение поля и на границе раздела двух изотропных, однородных диэлектриков, у которых нет сторонних зарядов и e₂ > e₁.

Из рис. 4 следует, что Е₂ < Е₁ и D₂ > D₁.

Кроме того, линии напряженности испытывают преломление и терпят разрыв из-за наличия связанных зарядов.

Линии электрического смещения испытывают только преломление, так как на границе раздела нет сторонних зарядов.

Граничные условия на поверхности раздела

Проводник-диэлектрик

На границе раздела: проводник-диэлектрик (среда 1 - проводник, среда 2 - диэлектрик) согласно формуле (2) имеем

D_n = s, (6)

где n - внешняя нормаль к поверхности проводника.

Вывод: В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника отсутствует, следовательно, и его поляризованность равна нулю.

Поэтому электрическое смещение равно нулю (D = 0) внутри проводника.

Замечание: Если к поверхности заряженного проводника прилегает однородный изотропный диэлектрик, то на их границе появляются связанные заряды плотности s^* (объемная плотность связанных зарядов r^* = 0).

Но на границе проводник-диэлектрик есть сторонние и связанные заряды. Поэтому, применяя теорему Гаусса к вектору ,получаем

.

или

.

Из сравнения последних двух равенств следует, что

.

В итоге получим, что

. (7)

Вывод: Поверхностная плотность сторонних зарядов s на проводнике однозначно связана с поверхностной плотностью связанного заряда s^* в диэлектрике, но знаки этих зарядов противоположны.

Электрическое поле в диэлектрике

Рис. 5

При внесении изотропного диэлектрика во внешнее электрическое поле ₀, например, в пространство между обкладками плоского конденсатора, он поляризуется (рис. 5).

Внутри диэлектрика связанные заряды компенсируют друг друга.

На левой грани возникает не скомпенсированный связанный отрицательный заряд с поверхностной плотностью - s^*,_, а на правой - положительный связанный заряд с поверхностной плотностью + s^*.

В диэлектрике возникнет свое электрическое поле

Е^*= , (8)

направлено противоположно внешнему полю ₀.

Согласно принципу суперпозиции результирующее электрическое поле

= ₀ + ^* (9)

или по абсолютной величине

Е = Е₀ - Е^* . (10)

В отсутствии диэлектрика электрическое поле плоского конденсатора в вакууме характеризуется электрическим смещением

₀ = e₀ (11)

и напряженностью

. (12)

Поскольку внутри диэлектрика напряженность электрического поля

Е = Е₀ - Е^*,

то с учетом (8), (10) и (12) получим, что

. (13)

Это поле перпендикулярно боковым граням изотропного диэлектрика, поэтому Е_n = E.

Так как

s^* ₌ æe₀Е, (14)

то формулу (13) перепишем в виде

Е = Е₀ - æЕ

или

. (15)

Электрическое смещение внутри диэлектрика:

D = e₀eE = e₀E = D₀. (16)

Следовательно, электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением внешнего электрического поля в вакууме D₀.

Используя формулу (13) на основании (16) получаем, что

D = s. (17)

Вывод: Электрическое смещение численно равно поверхностной плотности сторонних зарядов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: