Сделай Сам Свою Работу на 5

Электрическое поле в диэлектрике

Лекция 5

Граничные условия на поверхности раздела

Диэлектрик-диэлектрик

 

1.1. Условие для вектора

 

Пусть на границе раздела двух диэлектриков находится сторонний поверхностный заряд. Для нахождения условия будем использовать теорему о циркуляции вектора , т. е. , и теорему Гаусса для вектора , т. е.

.

Электрическое поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 обозначим через 1, а в диэлектрике 2 - 2. В качестве замкнутого контура L возьмем прямоугольник (рис. 1), стороны которого должны быть малой длины, чтобы в их пределах напряженность электрического поля Е в каждом диэлектрике была одинаковой, а высота - бесконечно малой.

  Рис. 1

На основании теоремы о циркуляции вектора имеем

1t*+ Е2t) = 0,

где Е1t* и Е2t - проекции вектора на единичный вектор касательной , взяты в направлении обхода контура (на рис. 1 указан стрелками). Если использовать в качестве общего единичный вектор , то Е1t* = - Е1t. Тогда предыдущее равенство принимает вид

Е1t = Е2t. (1)

Вывод: Тангенциальная составляющая вектора одинакова по разные стороны границы раздела, т. е. не испытывает скачка.

1.2. Условие для вектора

Для нахождения условия для вектора в качестве замкнутой поверхности будем использовать малый цилиндр, чтобы в пределах каждого основания цилиндра вектор был одинаковым (рис. 2).

Используя теорему Гаусса для вектора , получаем

(D1n* + D2n) DS = s DS,

где s - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела.

  Рис. 2

С учетом того, что

D1n* = - D1n

последнее равенство принимает вид:

D2n - D1n = s. (2)

Вывод: нормальная составляющая вектора испытывает скачок на границе раздела двух диэлектриков.

Если сторонние заряды отсутствуют на границе раздела, то D2n = D1n, (3)

т. е. нормальная составляющая вектора скачка не испытывает.

Следовательно, если на границе раздела двух диэлектриков нет сторонних зарядов, то при переходе через границу составляющие Еt и Dn изменяются непрерывно, не испытывая скачка, а составляющие Еn и Dt - испытывают скачок.



1.3. Преломление линий и

  Рис. 3

При переходе через границу линии напряженности и линии электрического смещения преломляются (рис. 3).

Если на границе раздела нет сторонних зарядов, то из (1), (2) и (3) следует

Е1t = Е2t, e1Е1n = e2Е2n.

Согласно рис. 3 имеем

или

  Рис. 4

. (4)

Следовательно, в диэлектрике с большим значением диэлектрической проницаемости (e2 > e1) линии напряженности и электрического смещения составляют больший угол с нормалью к границе раздела (рис. 4).

На рис. 4 приведено графическое изображение поля и на границе раздела двух изотропных, однородных диэлектриков, у которых нет сторонних зарядов и e2 > e1.

Из рис. 4 следует, что Е2 < Е1 и D2 > D1.

Кроме того, линии напряженности испытывают преломление и терпят разрыв из-за наличия связанных зарядов.

Линии электрического смещения испытывают только преломление, так как на границе раздела нет сторонних зарядов.

 

Граничные условия на поверхности раздела

Проводник-диэлектрик

 

На границе раздела: проводник-диэлектрик (среда 1 - проводник, среда 2 - диэлектрик) согласно формуле (2) имеем

Dn = s, (6)

где n - внешняя нормаль к поверхности проводника.

Вывод: В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника отсутствует, следовательно, и его поляризованность равна нулю.

Поэтому электрическое смещение равно нулю (D = 0) внутри проводника.

Замечание: Если к поверхности заряженного проводника прилегает однородный изотропный диэлектрик, то на их границе появляются связанные заряды плотности s* (объемная плотность связанных зарядов r* = 0).

Но на границе проводник-диэлектрик есть сторонние и связанные заряды. Поэтому, применяя теорему Гаусса к вектору ,получаем

.

или

.

Из сравнения последних двух равенств следует, что

.

В итоге получим, что

. (7)

Вывод: Поверхностная плотность сторонних зарядов s на проводнике однозначно связана с поверхностной плотностью связанного заряда s* в диэлектрике, но знаки этих зарядов противоположны.

Электрическое поле в диэлектрике

 

Рис. 5

При внесении изотропного диэлектрика во внешнее электрическое поле 0, например, в пространство между обкладками плоского конденсатора, он поляризуется (рис. 5).

Внутри диэлектрика связанные заряды компенсируют друг друга.

На левой грани возникает не скомпенсированный связанный отрицательный заряд с поверхностной плотностью - s*,, а на правой - положительный связанный заряд с поверхностной плотностью + s*.

В диэлектрике возникнет свое электрическое поле

Е*= , (8)

направлено противоположно внешнему полю 0.

Согласно принципу суперпозиции результирующее электрическое поле

= 0 + * (9)

 

или по абсолютной величине

Е = Е0 - Е* . (10)

 

В отсутствии диэлектрика электрическое поле плоского конденсатора в вакууме характеризуется электрическим смещением

0 = e0 (11)

и напряженностью

. (12)

Поскольку внутри диэлектрика напряженность электрического поля

 

Е = Е0 - Е*,

то с учетом (8), (10) и (12) получим, что

. (13)

Это поле перпендикулярно боковым граням изотропного диэлектрика, поэтому Еn = E.

Так как

s* = æe0Е, (14)

то формулу (13) перепишем в виде

Е = Е0 - æЕ

или

. (15)

Электрическое смещение внутри диэлектрика:

 

D = e0eE = e0E = D0. (16)

 

Следовательно, электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением внешнего электрического поля в вакууме D0.

Используя формулу (13) на основании (16) получаем, что

D = s. (17)

Вывод: Электрическое смещение численно равно поверхностной плотности сторонних зарядов.

 



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.