Свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).

2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(log_a x)¢ = 1/(x ln a).

4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

5. При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства

log_a 1 = 0, log_a a =1.

6. При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

Рис. 6

Основное логарифмическое тождество.

Обратной функцией для показательной функции y=a^xбудет логарифмическая функция x =log_a y. По свойствам взаимно обратных функций f и f^-I

f(f^-I (y))=y

для всех x из области определения функции f^-I(х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид

a^log_a^y=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством.

При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

log_a (x×y)=log_a x+log_a y;

log_a (x/y)= log_a x-log_a y;

log_a (x^a)=a× log_a x (a - любое действительное число);

log_aa=1;

log_a x =( log_b x/ log_b a) (b – действительное число, b>0, b¹1).

В частности из последней формулы при а=е, b=10 получается равенство

ln x = (1/(ln e))lg x. (3)

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде

lg x =M× ln x.

Обратно пропорциональная зависимость

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k – некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать x независимой переменной, а y – зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

Свойства функции y = k/x.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

2. Область значения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

3. Функция f(x) = k/x – нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x)¢ = -k/x². Функция критических точек не имеет.

4. Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в (-¥, 0) и (0, +¥), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

5. График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке (0, +¥) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (-¥, 0) – вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-¥, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +¥).

График функции f(x) = k/x для значения k=1 изображен на рис. 7.

Тригонометрические функции

Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a существуют еще две тригонометрические функции угла a - секанс и косеканс, обозначаемые sec a и cosec a соответственно.

Sin х

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значения – промежуток [-1; 1].

3. Функцияsin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.

4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

sin (х+2p)= sin х.

5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z.

6. Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,

sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn), n Î Z.

7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х)¢ =cos x.

8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,

и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z.

9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой.

Рис. 8

Свойства функции cos х.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значения – промежуток [-1; 1].

3. Функцияcos х – четная: cos (-х)=cos х.

4. Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

cos (х+2p)= cos х.

5. Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z.

6. Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn)), n Î Z,

cos х<0 при x Î ((p/2)+2pn); ((3p)/2)+ 2pn)), n Î Z.

7. Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х)¢ =-sin x.

8. Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn), n Î Z,

и убывает при xÎ (2pn; p+ 2pn), n Î Z.

9. Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2pn, n Î Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.

Рис. 9

Свойства функции tg х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn, n Î Z.

2. Область значения – множество всех действительных чисел.

3. Функцияtg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.

4. Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

tg (х+p)= tg х.

5. Нули функции: tg х=0 при x=pn, n Î Z.

6. Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,

tg х<0 при x Î ((-p/2)+pn; pn), n Î Z.

7. Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х)¢ =1/cos² x.

8. Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn), n Î Z,

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой.

Рис. 10

Свойства функции сtg х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z.

2. Область значения – множество всех действительных чисел.

3. Функциясtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

4. Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

сtg (х+p)= ctg х.

5. Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n Î Z.

6. Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,

ctg х<0 при x Î ((p/2)+pn; p(n+1)), n Î Z.

7. Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х)¢ =-(1/sin² x).

8. Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (pn; p(n+1)), n Î Z.

График функции y=сtg х изображен на рис. 11.

Свойства функции sec х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=(p/2)+pn, n Î Z.

2. Область значения:

(-¥; 1]È[1; +¥).

3. Функцияsec х – четная: sec (-х)= sec х.

4. Функция sec х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2p:

sec (х+2p)= sec х.

5. Функция sec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

6. Промежутки знакопостоянства:

sec х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,

sec х<0 при x Î ((p/2)+2pn; (3p/2)+2pn), n Î Z.

7. Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(sec х)¢ =sin x/cos² x.

8. Функция sec х возрастает в промежутках

(2pn; (p/2)+ 2pn), ((p/2)+ 2pn; p+ 2pn], n Î Z,

и убывает в промежутках

[p+ 2pn; (3p/2)+ 2pn), ((3p/2)+ 2pn; 2p(n+1)], n Î Z.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: