Дискретные случайные величины

Рассмотрим подробнее дискретные случайные величины, причем, как правило, будем ограничивать рассмотрение такими случай­ными величинами, у которых количество возможных значений конечно.

Наиболее полную информацию о дискретной случайной вели­чине дает закон распределения этой величины.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины часто задают в виде двухстрочной таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения этой величины (как правило, в порядке возрастания), а во второй — соответствующие этим значениям вероятности таблице 1:

Пример 2. Имеется десять студенческих групп, насчитыва­ющих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины X, опреде­ляемой как число студентов в наугад выбранной группе.

Решение. Возможными значениями рассматриваемой случай­ной величины Х являются следующие (в порядке возрастания):

8, 9, 10, 11 и 12.

Поскольку случайная величина Х принимает значение, равное 8, в том случае, если наугад выбранной группой окажется груп­па из 8 студентов (назовем это событием А), вероятность того, что случайная величина Х примет значение , равна вероят­ности этого случайного события: .

Вероятность же случайного события А в соответствии с классическим определением вероятности равна по­скольку из 10 групп две насчитывают по 8 студентов.

Таким образом, для вероятности значения получаем:

.

Аналогично можно найти вероятности остальных значений слу­чайной величины X:

что позволяет составить искомый закон распределения (таблица 2):

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан также с помощью формулы, позволяющей для каж­дого возможного значения этой величины определить соответ­ствующую вероятность.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Как уже отмечалось, закон распределения дискретной случайной величины позволяет получить исчерпывающую информацию об этой величине.

На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, но даже и в тех случаях, когда он известен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из ко­торых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение (стандарт).

Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто ис­пользуется также обозначение « ») дискретной случайной ве­личины Х называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

, (3)

где индекс i принимает значения 1, 2, 3, ..., п.

Пример 3. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 2 (см. при­мер 2).

Решение. Подставляя данные табл. 8.3 в формулу (3), по­лучим:

Основной смысл математического ожидания дискретной слу­чайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины. Иными словами, если произведено некоторое количество испытаний и по результатам этих испыта­ний вычислено среднее арифметическое всех наблюдавшихся значений дискретной случайной величины X, то это среднее ариф­метическое значение приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) математическому ожиданию данной слу­чайной величины.

Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математическо­го ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины.

Определение. Дисперсией D(X) (часто используется также обо­значение « ²») дискретной случайной величины, называется ма­тематическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

, (4)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: