статистических распределений
Для наглядности принято использовать следующие формы графического представления статистических распределений: полигоны и гистограммы.
Дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами ( i, i); аналогично полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами ( , wi ).
Интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частот есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - интервалы длиной , а высоты - плотности частот . Для гистограммы относительных частот высоты прямоугольников - плотности относительных частот . Здесь в общем случае , однако на практике чаще всего полагают величину h одинаковой для всех интервалов. где i=1, 2, ..., k.
Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников.
таким образом, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна единице.
В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятности . Поэтому гистограмму можно использовать для подбора закона распределения генеральной совокупности.
Кумулятивные ряды графически изображают в виде кумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат - накопленные частоты Н( ) или относительные накопленные частоты , а затем точки с координатами ( i ; H( i )) или ( i ; ) соединяют отрезками прямой. В теории вероятностей кумуляте соответствует график интегральной функции распределения .
Замечание 1. Если в статистическом исследовании исходным является статистическое распределение в виде интервального ряда (сгруппированные данные), а исходный вариационный ряд недоступен, то точное расположение отдельных вариант, попавших в каждый из интервалов, неизвестно. Только выбирая в качестве аргумента эмпирической функции распределения правую границу интервала (xi-1-xi), мы уверены, что все варианты, попавшие в этот интервал, будут учтены (просуммированы) в значении накопленной частоты (накопленной относительной частоты), соответствующей этому интервалу.
Поэтому в случае интервального ряда значения и H(x) точно определены лишь для правой границы интервала: x = xi. В остальных точках интервала xi-1 < x < xi значения и H(x) можно задать лишь приближенно. Примером может служить кумулята, отрезки прямых которой представляют собой выраженную в графической форме линейную интерполяцию значений и H(x) на интервале xi-1 <x< xi .
Замечание 2. В случае дискретного ряда использовать кумуляту для изображения и H(x) можно лишь условно, для наглядности. Более корректным является изображение эмпирической функции распределения , а также H(x) по аналогии с теоретической функцией распределения дискретной случайной величины (рис. 3) ступенчатым графиком - отрезками прямых, параллельных оси абсцисс; длины отрезков - hi = xi - xi-1 , расстояния от отрезков до оси абсцисс - , или H(xi).
Пример 1. Имеется распределение 80 предприятий по числу работающих на них (чел.):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| .
| Построить полигон распределения частот.
Решение. Признак Х - число работающих (чел.) на предприятии. В данной задаче признак Х является дискретным. Поскольку различных значений признака сравнительно немного - k = 7, применять интервальный ряд для представления статистического распределения нецелесообразно (в прикладной статистике в подобных задачах часто используют именно интервальный ряд). Ряд распределения - дискретный. Построим полигон распределения частот (рис. 1).
Рис. 1
Пример 2.Дано распределение 100 рабочих по затратам времени на обработку одной детали (мин):
xi-1-xi
| 22-24
| 24-26
| 26-28
| 28-30
| 30-32
| 32-34
|
|
|
|
|
|
|
|
| .
| Построить гистограмму частот.
Решение. Признак Х - затраты времени на обработку одной детали (мин). Признак Х - непрерывный, ряд распределения - интервальный. Построим гистограмму частот (рис. 2), предварительно определив (k = 6) и плотность частоты .
xi-1-xi
| 22-24
| 24-26
| 26-28
| 28-30
| 30-32
| 32-34
|
|
|
|
|
|
|
|
| .
|
Рис. 2
Пример 3.В распределении, данном в примере 1, найти накопленные частоты H( i ) и построить кумуляту.
Решение. Используем значения Н(х): H(x1)=0, H(xi)=H(xi-1)+mi-1 (i=2, 3, ј, k+1, k=7).
i
|
|
|
|
|
|
|
|
| xi
|
|
|
|
|
|
|
|
| mi
|
|
|
|
|
|
|
|
| H( i )
|
| 0+1=1
| 1+3=4
| 4+7=11
| 11+30=41
| 41+19=60
| 60+15=75
| 75+5=80
| На рис. 3 показана кумулята распределения предприятий по числу работающих (чел.).
Пример 4.В распределении, данном в примере 2, составить эмпирическую функцию распределения и построить кумуляту относительных частот.
Решение. Используем значения Н(х): H(x0)=0, H(xi)=H(xi-1)+mi (i=1, 2, ј, k, k=6). Проверка: 1.
| i
|
|
|
|
|
|
|
| | xi-1-xi
| -Ґ-22
| 22-24
| 24-26
| 26-28
| 28-30
| 30-32
| 32-34
| | mi
|
|
|
|
|
|
|
| | H( i )
|
| 0+2=2
| 2+12=14
| 14+34=48
| 48+40=88
| 88+10=98
| 98+2=100
|
|
| 0,02
| 0,14
| 0,48
| 0,88
| 0,98
|
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | Построим кумуляту распределения (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|