Математические игры, основанные на свойствах магических квадратов

Судоку.Пазл–головоломка. Ее правила предельно просты: дан квадрат из 81 клетки, который в свою очередь состоит из 9 квадратов по 9 клеток. Нужно расставить в клетках числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке и столбце большого квадрата, а также внутри каждого из малых квадратов числа не повторялись. Часть клеток в начале заполнена, остальное нужно заполнить самостоятельно, используя логику и расчет.

В последнее время появились и более сложные модификации, чем 9 на 9 клеток. Существуют Судоку с размерами 15×15 или даже 16×16, предназначенные для опытных игроков. Кроме того, есть Судоку, в которых не указываются отдельные цифры, а только суммы цифр в группах клеток; то есть, само поле разбивается на прямоугольные блоки разных размеров и указывается сумма цифр входящих в каждый блок. Для детей используются Судоку меньших размеров, например, 2 на 2.

Какуро.Если головоломки в стиле Судоку вам кажутся элементарными, тогда протестируйте свой интеллект с еще одной головоломкой японского происхождения – Какуро. Какуро считается более сложной головоломкой по сравнению с Судоку и требует от игрока отличных математических способностей и умения мыслить логически.
Чёрные клетки в Какуро называются легендой. Они разделены наклонной чертой и содержат одно или два числа. Число в правом верхнем углу относится к прилегающему горизонтальному блоку клеток, а в левом нижнем – к вертикальному. Ваша цель – вписать цифры от 1 до 9 во все ячейки поля в соответствии с данными подсказками. Цифры в специальных ячейках указывают сумму, которую вы должны составить из вписываемых цифр. Цифры в одной ячейке не должны повторяться! В горизонтальных ячейках цифры должны быть расположены по возрастанию, в вертикальных– по убыванию.

Магический шестиугольник

В 1910 году Клиффорд У. Адаме принялся за поиски магического шестиугольника. Задача формулируется так: можно ли натуральные числа от 1 до n расставить в n ячейках шестиугольника так, чтобы суммы всех чисел в каждом ряду в трех направлениях были бы равны между собой? Наименьший шестиугольник, имеющий более одной ячейки, состоит из семи ячеек.

По аналогии с порядком квадрата можно сказать, что это шестиугольник второго порядка, так как к любой стороне шестиугольника примыкают две ячейки. Угловая ячейка А входит в два ряда АС и АВ. Если бы суммы А+В и А+С были равны, то в ячейках В и С должны стоять одинаковые числа. Это противоречит условию задачи, следовательно, магический шестиугольник второго порядка составить нельзя. Невозможность существования магического шестиугольника второго порядка следует ещё из того, что сумма чисел1+2+3+...+7=28 не делится на 3 (количество рядов по любому из трех направлений). Идем дальше, увеличивая порядок.

Шестиугольник третьего порядка состоит из 19 ячеек и имеет по пять рядов в трех направлениях. Магическая сумма должна быть равна (1+2+...+19)/5=190/5=38. Но возможность условно вычислить предполагаемую магическую сумму ещё не является доказательством того, что магический шестиугольник третьего порядка существует, его еще построить нужно!

Клиффорд Адаме занимался решением этой задачи в свободное время на протяжении 47 лет и, наконец, решил ее. Вот пример завидного упорства в достижении поставленной цели! Потом лист с записью решения куда-то потерялся и 5 лет он пытался воспроизвести решение ещё раз, пока не отыскал потерянную бумажку. Адаме отослал решение известному популяризатору математики Мартину Гарднеру, а тот передал его для анализа специалисту по комбинаторным задачам Чарльзу Триггу. Тригг доказал, что не существует более ни одного магического шестиугольника любого порядка, т.е. это решение уникально. Есть аналогия с магическими квадратами: второго порядка не существует, а третьего порядка только единственный экземпляр, если не считать симметричные отображения. Но дальше аналогия закончилась, квадратов с увеличением порядка все больше и больше, а шестиугольников кроме одного нет вообще, хоть как увеличивай порядок. Независимо от Адамса в 1958 году такой же шестиугольник опубликовал в «Математической газете» Том Винерс.

Итак, магический шестиугольник существует, причем в единственном варианте, цель достигнута и одновременно вопрос исчерпан. Что же делать дальше, полюбоваться этим уникумом и всё? Примитивный подход. Фантазии ума ограничений быть не может. Вспомните квадрат без одной клетки. Перенесем эту идею на шестиугольник и снова простор для головоломок: построить магический шестиугольник с одной или несколькими незаполненными ячейками, или же убирая некоторые числа из натурального ряда, составить магический шестиугольник из непоследовательных чисел.

Заключение

В настоящем реферате рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Ближайшие родственники магических квадратов – латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.

В реферате также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.

Список используемой литературы:

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1985г.

2. М. Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

3. В.В.Трошин «Магия чисел и фигур», Москва «Глобус», 2007 г.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: