История возникновения магических квадратов.

Введение

Одной из самых интересных математических головоломок считаются магические квадраты. Цифровой квадрат называют магическим, если составляющие его числа не повторяются и дают при определенных сочетаниях заранее задуманный составителем результат. До недавнего времени считалось, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, однако они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики. В настоящее время доказано, что магические квадраты и фигуры помогают осознать магию чисел Периодической таблицы химических элементов и матрицу ДНК.

Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник является популярная игра Судоку. Судоку от яп. 数独, дословно означает «числа - рядом». Эту головоломку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира. Ее правила предельно просты: дан квадрат из 81 клетки, который в свою очередь состоит из 9 квадратов по 9 клеток. Нужно расставить в клетках числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке и столбце большого квадрата, а также внутри каждого из малых квадратов числа не повторялись. Часть клеток в начале заполнена, остальное нужно заполнить самостоятельно, используя логику и расчет.

Объект исследования: магические квадраты.

Гипотеза: существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.

Цель:с помощью магического квадрата Пифагора определить и дать математическое описание членов моей семьи и подобрать игры, задания для организации семейного досуга.

Методы исследования: частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический.

Задачи:

1. Анализировать литературу и ресурсы Интернета о возникновении, определении, видах магических квадратов.

2. Изучить области применения магических квадратов для моей семьи.

3. Подобрать задачи на данную тему для проведения досуга моей семьи.

Актуальность: умение составлять магические квадраты помогает в решении различных головоломок и олимпиадных задач по данной теме, а так же повышает интерес учащихся к изучению математики.

Исследование:изучение методов построения магических квадратов различного порядка, самостоятельное составление магических квадратов любого порядка.

Результат исследования: составлены квадраты для проведения досуга моей семьи.

Научная новизна: создание магических фигур расширяет и увеличивает магическое воздействие цифр, оказываемое на материальный мир. Это изучает милогия — новая наука 3-го тысячелетия о единой теории эволюции Материи, о Едином Законе эволюции мироздания, из которого выводятся, как следствия все известные науке законы, а также новые законы и закономерности, неизвестные ранее.

Практическая значимость: В сборниках нестандартных задач по математике часто встречаются задачи на составление магических квадратов. Кроме того, такие задания нередко включают в математические олимпиады, поэтому ребятам, увлекающимся математикой полезно знать способы решения задач такого типа.

История возникновения магических квадратов.

	Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой
были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рисунке. В дальнейшем, занимаясь магическими квадратами, китайские математики рассматривали квадраты не только
третьего, но и более высоких порядков, придумали правила для их построения. В древнеиндийских надписях и трактатах встречаются изображения магических квадратов четвертого порядка. 11 в. о магических квадратах узнали в Индии. Из Индии сведения о магических квадратах пришли к арабам. Арабы были знакомы с квадратом третьего порядка в 8 веке, а в 12 его описал в своих сочинениях Ибн Эзра, испанский еврей, принявший мусульманство. Мусульмане очень благоговейно относились квадратам пятого порядка с цифрой «1» в середине, считая это изображение символом единства Аллаха. В Европе о магических квадратах узнали благодаря византийскому писателю Э.Мохопулосу, жившему в Костантинополе в начале 15 века. Редкостью является использование магического квадрата в изобразительном искусстве, а не в литературных или научных произведениях.

Впервые это сделал немецкий художник Альбрехт Дюрер (1441-1528г.г.), выпустивший в 1514 году гравюру «Меланхолия», на которой в правом верхнем углу есть изображение магического квадрата четвертого порядка. Причем, два числа в середине нижней строки указывают

на год создания гравюры – 1514. Этот факт говорит об умении в то время составлять магические квадраты с определенным заданным расположением некоторых чисел. Говорят, что гравюра А.Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств Нострадамуса (1503-1566гг.).

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет с Сатурном, Юпитером, Марсом, Солнцем, Венерой, Меркурием, Луной.

Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

Составление магических квадратов было делом не только астрологов или бездельников, ищущих забавы. Теорию их разрабатывали многие выдающиеся математики. В 1654 году французский ученый Блез Паскаль написал трактат, полностью посвященный магическим квадратам. В дальнейшем к теории магических квадратов обращались многие выдающиеся математики. Она находит применение в ряде важных математических вопросов. Выводы теории магических квадратов используются в одном из методов решения систем уравнений со многими неизвестными и даже в современной квантовой механике.

А любителям математики составление квадратов служило хорошей гимнастикой ума и одно время столь же процветало, как увлечение кроссвордами в наши дни. Особо усердным хватало терпения, чтобы составить , например, квадрат 43-го порядка с числами от 1 до 1849. Один только факт: в 1838 году, когда о математических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, во Франции был напечатан трактат на эту тему, состоящий из трех объемных томов. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магические квадраты.

Магический квадрат второго порядка не существует.В этом легко убедиться испытанием. Учитывая симметрию квадрата, абсолютно безразлично, в какой из четырех углов мы поставим 1, допустим в левый нижний угол. В расположении чисел по одной диагонали возможны три варианта:

Какое бы теперь число мы не поставили в левый верхний угол, суммы чисел в первой строке и первом столбце будут разными. Вывод: магический квадрат второго порядка не существует.

Существует единственный магический квадрат 3х3 ,так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

9+5+1

9+4+2

8+6+2

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять – таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

Мы уже доказали, что магического квадрата второго порядка не существует и можно составить единственный магический квадрат третьего порядка, если не считать его отражения и повороты. На очереди - квадрат четвертого порядка. Оказалось, что с возрастанием порядка, количество различных магических квадратов увеличивается очень резко. Несимметричных магических квадратов четвертого порядка существует 880, с учетом поворотов и отражений это число увеличивается до 7040.

По последним данным для магических квадратов пятого порядка существует 275 305 224 возможных вариантов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: