Сделай Сам Свою Работу на 5
 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

В рассмотренном выше примере вероятность получилась довольно малой, несмотря на то, что вероятность появления стандартной детали равна 0,9. Это объясняется тем, что была вычислена вероятность только одного из 401 исходов. Поэтому в практических приложениях представляет интерес вычисления не одного, а нескольких исходов. Такую вероятность можно получить путем суммирования по всем возможным исходам m. Однако при больших n и достаточно широких пределов изменения величины m вычисления будут довольно громоздкими. В этих случаях для приближенных вычислений используется

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности Pn(k1£m£k2) того, что число успехов заключено в пределах от k1 до k2, справедливо приближенная формула

, (3.15)

где , функция Лапласа.

Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(–x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы. Обратите внимание, что 0£Ф(x)£0,5.

Доказательство теоремы проведем, опираясь на локальную теорему Муавра-Лапласа (здесь мы также опускаем отдельные технические детали доказательства). Очевидно, что вероятность Pn(k1£m£k2) можно представить в виде

.

Так как

,

то сумму можно написать в виде

,

которая мало чем отличается от подходящим образом выбранной интегральной суммы, соответствующей интегралу . Следовательно,

.

Таким образом,

,

где функция стандартного нормального распределения. Часто вместо функции F(x) используется функция Лапласа Ф(x)=F(x)–0,5. Отметим еще, что в некоторых учебниках за функцию Лапласа принимают вдвое большую функцию = 2Ф(x); в этом случае 0£ £1.

 

Пример 3.16. В среднем в ОТК бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди них не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. По условию задачи n=625, p=0,9, q=0,1, k1=550, k2=575. Поскольку npq=56,25»1 и n=625>100, то искомую вероятность найдем при помощи интегральной формулы Муавра-Лапласа:

, ,

= 2·0,45221 = 0,90442.



Более точные компьютерные вычисления, с использованием формулы Бернулли, дают следующий результат P625(550£m£575) = 0,90431. Видно, что использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа было вполне оправданным.

 

Теорема Пуассона

При использовании теорем Муавра-Лапласа можно заметить, что она действует тем "хуже", чем больше вероятность p отличается от 1/2, т.е. чем ближе вероятность к 1 или 0. Однако значительное число задач связано с необходимостью вычисления вероятностей Pn(m) именно при малых значениях p (или q).

Теорема Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность успеха p в одном испытании мала, причем мало также произведение np, то справедлива приближенная формула

, (3.16)

где l = np.

Доказательство. Запишем формулу Бернулли

или, с учетом обозначения l = np, p = l/n:

.

Известно, что

.

Кроме того, если n велико, то , , ..., и . Поэтому

,

что и требовалось доказать.

Отметим, что формула Пуассона справедлива также по отношению к числу неудач, но только в том случае, когда мало l¢ = nq.

Теперь рассмотрим некоторые рекомендации по применению приближенной формулы Пуассона. 1) Если число испытаний n=10¸20, то теорема Пуассона используется для грубых оценок, когда l = np или l¢ = nq изменяются в пределах от 0¸2 (при n=10) до 0¸3 (при n=20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра-Лапласа. 2) Если n=20¸100, то формулу Пуассона рекомендуется применять, когда l и l¢ заключаются в следующих пределах: от 0¸3 (при n=20) до 0¸5 (при n=100). 3) Если n=100¸1000, то формула Пуассона используется, когда l и l¢ изменяются в следующих пределах: от 0¸5 (при n=100) до 0¸10 (при n=1000). 4) Если n>1000, то необходимо чтобы l и l¢ лежали в пределах 0¸10 и более.

Еще раз отметим, что приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа гарантируют только малую абсолютную погрешность, но не относительную погрешность.

Пример 3.17. Счетчик Гейгера регистрирует попадание в него a-частицы с вероятностью p=0,9. Найти вероятность того, что он зарегистрировал m (m=0,1,2,...,10) частиц при условии, что в него попало n=10 частиц.

Решение. Воспользуемся сначала точной формулой Бернулли, в соответствии с которой

.

После этого воспользуемся приближенной формулой Пуассона. В данном случае l = np =9 – велико, а l¢ = nq = 1 мало. Это значит, что нужно воспользоваться формулой Пуассона, но по отношению к незарегистрированным частицам. В соответствии с этой формулой

.

Результаты вычислений P10(m) занесем в таблицу.

m Точное значение, формула Бернулли Приближенное значение, формула Пуассона Абсолютная погрешность Относительная погрешность %
- -
0,000001 0,000001 -
0,000009 0,000010 -
0,000009 0,000073 0,000064
0,000138 0,000511 0,000373
0,001488 0,003066 0,001578
0,011160 0,015328 0,004168 37,4
0,057396 0,061313 0,003918 6,8
0,193710 –0,009771 5,0
0,387420 0,367879 –0,019541 5,0
0,344678 0,367879 0,019201 5,5

Анализируя приведенные результаты, видно, что максимальная абсолютная погрешность невелика, чего нельзя сказать о максимальной относительной погрешности. Если в данной задаче воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа (чего не рекомендуется делать, поскольку npq=0,9 сравнимо и даже меньше единицы), то получим результаты, имеющие существенно большие погрешности.

Пример 3.18. Радиоаппаратура состоит из 900 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна p=0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение. Поскольку l=np=0,9, то можно применить теорему Пуассона. Тогда

.

Точное значение

практически не значительно отличается от приближенного. Следовательно, в данной задаче допустимо применение формулы Пуассона.

 

 



©2015- 2022 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.