Локальная теорема Муавра-Лапласа

ЛЕКЦИЯ 5

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.

Формула Бернулли

В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся опыты в сходных условиях. При этом, как правило, результаты предшествующих опытов никак не сказываются на результатах последующих опытов. Очень важен простейший тип таких опытов, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появляться с одной и той же вероятностью p и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний.

Этот тип испытаний называется схемой повторных независимых испытаний, или схемой Бернулли. Исследование таких последовательностей заслуживает особого внимания в силу их исключительного значения в теории вероятностей и ее приложений.

Изучение многих проблем в производстве, экономике, социологии и других отраслях науки и техники требует организации длительных наблюдений и экспериментов, т.е. организации схемы повторных испытаний. Например, особое значение схема Бернулли имеет в теории контроля. Так, перед тем как ввести в массовое производство новый тип прибора проводят многочисленные его испытания на безотказность, долговечность, простоту наладки и т.п. как раз по схеме Бернулли.

Поставим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события А (успех), либо не появление события  (неуспех). Проведем n испытаний Бернулли, т.е. что все n испытаний независимы и вероятность появления события А в каждом отдельном взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность P(A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P(A)=p, а вероятность противоположного события P() – буквой q, т.е. P() =
1–P(A) = 1–p = q.

Найдем вероятность P_n(m) того, что событие A появится ровно m раз в n испытаниях Бернулли. Отметим, что здесь не требуется появления события А ровно m раз в строго определенной последовательности. Вероятность элементарного исхода, в котором событие А наступит ровно m раз, равна p^mq^n–m. Однако число таких элементарных исходов совпадает с числом способов, которыми можно выбрать m мест из имеющихся n, не учитывая порядка, т.е. равно числу сочетаний . В результате получаем, что вероятность наступления m успехов в n независимых испытаниях равно

(3.14)

Полученное равенство называют формулой Бернулли.

Пример 3.13. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных?

Решение. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным равна q=0,02. Вероятность того, что изделие окажется стандартным равна p=1–q=0,98. Поскольку эти вероятности постоянны и не изменяются от испытания к испытанию, то для подсчета вероятности можно применить формулу Бернулли. Появление более четырех стандартных изделий означает, что среди 6 взятых деталей окажутся 5 или 6 стандартных. Следовательно

= 5×0,98⁵×0,02¹ + 1×0,98⁶×0,02⁰ » 0,9943.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли, при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой, особенно если требуется не просто вычислить вероятность P_n(m) при конкретных значениях n и m, а решить какую-либо экстремальную задачу. Поэтому широкое значение получили приближенные асимптотические формулы. Функция g(x) называется асимптотическим приближением функции f(x), если .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, при этом npq » 1, то справедлива приближенная формула

, (3.14)

где , .

Ввиду важности функции j(x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция j(x) четная, т.е. j(–x)=j(x).

Доказательство. Одно из доказательств локальной теоремы основано на использовании формулы Стирлинга:

при n®¥. Не даваясь в математические подробности доказательства, изложим основную его суть. Будем считать, что числа m и n–m в формуле Бернулли возрастают до бесконечности вместе с n. Тогда после применения формулы Стирлинга формула Бернулли примет вид

.

Рассмотрим теперь величину

.

Положим . Тогда , n–q=nq– . Логарифмируя теперь А, получим

.

Поскольку при больших n величины и малы, то логарифмы можно разложить в ряд Маклорена по степеням x. Ограничившись двумя первыми членами, получим

.

Следовательно,

.

Наконец, учитывая, что и при фиксированном x и больших n, получим

.

Принимая во внимание все это, получим утверждение теоремы.

Теперь приведем некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению теоремы Муавра-Лапласа. 1) Если n=10¸20, то теорема Муавра-Лапласа используется для грубых оценок. 2) Если n=20¸100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов.
3) Если n=100¸1000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными асимптотическими формулами.
4) Если n>1000, то даже специальные таблицы рассчитываются с помощью асимптотических формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки).

Здесь следует еще добавить, что локальная формула Муавра-Лапласа верна с точностью до . Это означает, что для применения теоремы Муавра-Лапласа должно выполняться условие npq »1 (обычно достаточно npq >10).

Отметим также, что из условий теоремы следует, что если n®¥, то и m®¥. Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно, например, для P_n(0) теорема Муавра-Лапласа дает плохое приближение.

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, скажем несколько слов о погрешностях, возникающих при использовании приближенных формул. Отметим, что полученная формула гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность может быть сколь угодно большой; причем относительная погрешность увеличивается с ростом абсолютного значения |x| = .

Пример 3.14. Производится 10 подбрасываний монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно m (m=0,1,...,10) "гербов".

Решение. Вычислим точные значения искомых вероятностей по формуле Бернулли:

.

После этого воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Поскольку и x=(m–5)/1,5811, то

.

Результаты вычислений P₁₀(m) занесем в таблицу.

Из таблицы видно, что приемлемые результаты приближенных вычислений находятся в середине таблицы. В целом можно отметить, что применение локальной теоремы в данной задаче не оправдано. Отметим, что сравнение точных и приближенных вычислений связано со сравнением биномиального и нормального распределений
(см. темы: «Биномиальное распределение» и «Центральная предельная теорема»)

Пример 3.15. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.

Решение. Согласно условию задачи: n=400, m=356, p=0,9, q=0,1. Поскольку n>100 и npq=36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции j(–0,6667)=0,31945. В результате, получаем

.

Компьютерные вычисления при помощи формулы Бернулли дает следующий результат

P₄₀₀(356) = 0,05127.

Видно, что применение в данной задаче локальной теоремы Муавра-Лапласа было практически оправдано.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: