Сделай Сам Свою Работу на 5
 

Локальная теорема Муавра-Лапласа

ЛЕКЦИЯ 5

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.

Формула Бернулли

В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся опыты в сходных условиях. При этом, как правило, результаты предшествующих опытов никак не сказываются на результатах последующих опытов. Очень важен простейший тип таких опытов, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появляться с одной и той же вероятностью p и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний.

Этот тип испытаний называется схемой повторных независимых испытаний, или схемой Бернулли. Исследование таких последовательностей заслуживает особого внимания в силу их исключительного значения в теории вероятностей и ее приложений.

Изучение многих проблем в производстве, экономике, социологии и других отраслях науки и техники требует организации длительных наблюдений и экспериментов, т.е. организации схемы повторных испытаний. Например, особое значение схема Бернулли имеет в теории контроля. Так, перед тем как ввести в массовое производство новый тип прибора проводят многочисленные его испытания на безотказность, долговечность, простоту наладки и т.п. как раз по схеме Бернулли.

Поставим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появление события А (успех), либо не появление события  (неуспех). Проведем n испытаний Бернулли, т.е. что все n испытаний независимы и вероятность появления события А в каждом отдельном взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность P(A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P(A)=p, а вероятность противоположного события P() – буквой q, т.е. P() =
1–P(A) = 1–p = q.

Найдем вероятность Pn(m) того, что событие A появится ровно m раз в n испытаниях Бернулли. Отметим, что здесь не требуется появления события А ровно m раз в строго определенной последовательности. Вероятность элементарного исхода, в котором событие А наступит ровно m раз, равна pmqn–m. Однако число таких элементарных исходов совпадает с числом способов, которыми можно выбрать m мест из имеющихся n, не учитывая порядка, т.е. равно числу сочетаний . В результате получаем, что вероятность наступления m успехов в n независимых испытаниях равно



(3.14)

Полученное равенство называют формулой Бернулли.

Пример 3.13. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных?

Решение. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным равна q=0,02. Вероятность того, что изделие окажется стандартным равна p=1–q=0,98. Поскольку эти вероятности постоянны и не изменяются от испытания к испытанию, то для подсчета вероятности можно применить формулу Бернулли. Появление более четырех стандартных изделий означает, что среди 6 взятых деталей окажутся 5 или 6 стандартных. Следовательно

= 5×0,985×0,021 + 1×0,986×0,020 » 0,9943.

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Несмотря на элементарность формулы Бернулли, при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой, особенно если требуется не просто вычислить вероятность Pn(m) при конкретных значениях n и m, а решить какую-либо экстремальную задачу. Поэтому широкое значение получили приближенные асимптотические формулы. Функция g(x) называется асимптотическим приближением функции f(x), если .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, при этом npq » 1, то справедлива приближенная формула

, (3.14)

где , .

Ввиду важности функции j(x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция j(x) четная, т.е. j(–x)=j(x).

Доказательство. Одно из доказательств локальной теоремы основано на использовании формулы Стирлинга:

при n®¥. Не даваясь в математические подробности доказательства, изложим основную его суть. Будем считать, что числа m и n–m в формуле Бернулли возрастают до бесконечности вместе с n. Тогда после применения формулы Стирлинга формула Бернулли примет вид

.

Рассмотрим теперь величину

.

Положим . Тогда , n–q=nq– . Логарифмируя теперь А, получим

.

Поскольку при больших n величины и малы, то логарифмы можно разложить в ряд Маклорена по степеням x. Ограничившись двумя первыми членами, получим

.

Следовательно,

.

Наконец, учитывая, что и при фиксированном x и больших n, получим

.

Принимая во внимание все это, получим утверждение теоремы.

Теперь приведем некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению теоремы Муавра-Лапласа. 1) Если n=10¸20, то теорема Муавра-Лапласа используется для грубых оценок. 2) Если n=20¸100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов.
3) Если n=100¸1000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными асимптотическими формулами.
4) Если n>1000, то даже специальные таблицы рассчитываются с помощью асимптотических формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки).

Здесь следует еще добавить, что локальная формула Муавра-Лапласа верна с точностью до . Это означает, что для применения теоремы Муавра-Лапласа должно выполняться условие npq »1 (обычно достаточно npq >10).

Отметим также, что из условий теоремы следует, что если n®¥, то и m®¥. Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно, например, для Pn(0) теорема Муавра-Лапласа дает плохое приближение.

Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, скажем несколько слов о погрешностях, возникающих при использовании приближенных формул. Отметим, что полученная формула гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность может быть сколь угодно большой; причем относительная погрешность увеличивается с ростом абсолютного значения |x| = .

Пример 3.14. Производится 10 подбрасываний монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно m (m=0,1,...,10) "гербов".

Решение. Вычислим точные значения искомых вероятностей по формуле Бернулли:

.

После этого воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Поскольку и x=(m–5)/1,5811, то

.

Результаты вычислений P10(m) занесем в таблицу.

m Точное значение, формула Бернулли x j(x) Приближенное значение, формула Муавра-Лапласа Абсолютная погрешность Относительная погрешность %
0,000977 –3,1623 0,002688 0,001700 0,000724 74,1
0,009766 –2,5298 0,016262 0,010285 0,000519 5,3
0,043945 –1,8974 0,065945 0,041707 0,002238 5,1
0,117188 –1,2649 0,179256 0,113372 –0,003816 3,3
0,205078 –0,6325 0,326626 0,206577 0,001498 0,7
0,246094 0,398942 0,252313 0,006220 2,5
0,205078 0,6325 0,326626 0,206577 0,001498 0,7
0,117188 1,2649 0,179256 0,113372 –0,003816 3,3
0,043945 1,8974 0,065945 0,002238 5,1
0,009766 2,5298 0,016262 0,010285 0,000519 5,3
0,000977 3,1623 0,00268 0,001700 0,000724 74,1

Из таблицы видно, что приемлемые результаты приближенных вычислений находятся в середине таблицы. В целом можно отметить, что применение локальной теоремы в данной задаче не оправдано. Отметим, что сравнение точных и приближенных вычислений связано со сравнением биномиального и нормального распределений
(см. темы: «Биномиальное распределение» и «Центральная предельная теорема»)

Пример 3.15. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.

Решение. Согласно условию задачи: n=400, m=356, p=0,9, q=0,1. Поскольку n>100 и npq=36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции j(–0,6667)=0,31945. В результате, получаем

.

Компьютерные вычисления при помощи формулы Бернулли дает следующий результат

P400(356) = 0,05127.

Видно, что применение в данной задаче локальной теоремы Муавра-Лапласа было практически оправдано.

 

 



©2015- 2022 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.