Математическое описание объектов управления

Систему автоматического управления условно можно представить состоящей из двух частей (рис. 1.1): из объекта управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ).
Под объектом управления применительно к инженерным задачам подразумевается любое техническое устройство, процессом x(t) на выходе которого надлежит управлять.
Управляющее устройство обобщает все входящие в контур системы управления элементы, используемые с целью организации процесса управления. На вход системы управления подается как правило задающее воздействие g(t), определяющее желаемый характер управляемого процесса x(t). Управляющее устройство на основании информации о процессах g(t) и x(t), а в ряде случаев и на основании данных о возмущении f(t) «рассчитывает» управление u(t), с помощью которого воздействует на объект с целью поставить процесс x(t) в соответствие сигналу g(t) в рамках некоторого формального описания этого соответствия.

В общем случае ОУ является многомерным (рис. 1.2,а и б), имеет

n управляемых процессов .. ;

m входных воздействий (управлений) .. ;

k внешних возмущений

Математическая запись физических законов, определяющих свойства непрерывного объекта, в большинстве случаев приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений, связывающих выходные и входные процессы и их производные. Эта система может иметь весьма сложную форму и, например, в случае объекта с независимыми выходными процессами быть представлена соотношениями вида

=1, 2, … . (1.1)

При =1 объект называют одномерным. Если функции являются линейными относительно управляемых и управляющих процессов и их производных, то объект называют линейным по управлению; аналогично определяется линейность по возмущению.

Рис. 1.2

Математическая модель (1.1) в современной теории оптимальных и адаптивных систем получила ограниченное распространение. Гораздо чаще дифференциальных уравнений (1.1), из которых -е имеет порядок , представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка, каждое из которых разрешено относительно производной. С этой целью в рассмотрение вводят новых переменных которые подбирают таким образом, чтобы систему (1.1) оказалось возможным представить в форме

(1.2)

Эту систему называют нормальной формой Коши. Выходные процессы ОУ выражаются через введенные переменные— переменные состояния — соотношениями вида:

(1.3)

где стоящие в правой части функции являются в общем случае нелинейными. Система уравнений (1.2) должна быть эквивалентна исходной системе (1.1) в том смысле, что по решению (1.2) можно однозначно устанавливать решение системы (1.1). Совокупность уравнений (1.2), (1.З) часто называют уравнениями состояния.

Переход от системы уравнений в форме (1.1) к уравнениям состояния не является однозначным, т. е. может быть осуществлен различными путями. Одной и той же
исходной системе уравнений может соответствовать несколько систем в форме Коши в зависимости от способа определения переменных состояния. Универсальных рекомендаций для перехода, обеспечивающих преобразование самых произвольных нелинейных уравнений (1.1) в форму (1.2), (1.З), в настоящее время нет. Рассмотрим наиболее распространенные подходы.

1. Достаточно просто уравнения состояния находятся, когда уравнения (1.1) являются линейными с постоянными коэффициентами—стационарными. Положим, что ОУ одномерный с одним управлением и одним возмущением . Общее описание такого объекта сводится к линейному уравнению -гo порядка с постоянными коэффициентами

в составе которого с тем, чтобы уравнение не теряло свойств уравнения -го порядка, а часть остальных коэффициентов могла равняться нулю. Эти уравнения с использованием оператора дифференцирования удобно переписать в операторной форме

(1.4)

где

Формально (1.4) можно разрешить относительно x(t):

Сомножители часто называемые операторами объекта по управлению и возмущению соответственно, разложим на элементарные слагаемые, воспользовавшись правилами формальных операций над дробно-рациональными функциями:

(1.5)

Величины , являются корнями характеристического уравнения

которое формируется на основании полинома А(р) путем замены оператора дифференцирования р комплексной переменной s. Для простоты предположим, что это уравнение не имеет кратных корней, однако корни, как и остальные входящие в (1.5) величины, определяемые по правилам

(1.7)

могут быть комплексными .С учетом (1.5) уравнение (1.4) приобретает структуру

. (1.8)

Введем переменные состояния , , использовав определения

Учитывая смысл символа р, эти соотношения можем переписать в форме дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных,

, i= . (1.9)

Выходная величина объекта выразится через переменные состояния и внешние воздействия:

. (1.10)

Соотношения (1.9), (1.10) и будут уравнениями состояния линейного стационарного объекта. Их удобно переписать в матрично-векторной форме. С этой целью введем обозначения : - вектор состояния, компонентами которого являются переменные состояния; - диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны корням характеристического уравнения, а остальные элементы – нули; , , - n-мерные векторы с указанными элементами; верхний индекс «т» - здесь и далее символ транспортирования. Тогда уравнения состояния переписываются в форме

(1.11)

2. Недостатком изложенного принципа перехода к уравнениям состояния является необходимость решения характеристического уравнения (1.6), что при больших порядках полинома А(s) представляет трудоемкую операцию. Дополнительно в случае комплексных корней характеристического уравнения коэффициенты уравнений состояния также являются комплексными, а это существенно усложняет численный анализ этих уравнений. Применяют и иные способы перехода, при которых уравнения состояния окажутся другими, но по-прежнему эквивалентными исходному (1.4) в выше обусловленном смысле. Если исходное уравнение разрешить относительно старшей производной, то можно воспользоваться изложенным ниже (см. п. 5) способом перехода. В иных случаях распространенный способ перехода, основанный на введении переменных состояния по правилу [12]

; ; ; ...; ,

(1.12)

где для упрощения записей принято f(t) = 0, приводит к следующей матрично-векторной форме уравнения состояния:

. (1.13)

Здесь А- квадратная n-матрица; В, С – n-мерные векторы; d – скаляр, определяемые соотношениями

= [1/ , 0, 0, ..., 0]; d = / ;

(1.14)

В (1.11), (1.13) переменные состояния имеют различный смысл. Однако с помощью специальной замены переменных можно осуществить переход от одного уровня уравнения к другому.

Пример. 1.1. Используя метод разложения на элементарные дроби, найти уравнения состояния в форме (В.11) для объекта управления, описываемого уравнением .

В данном случае характеристическое уравнение имеет корни . Из вышеприведенных соотношений следует

;

Следовательно, уравнения состояния имеют вид

Учитывая, что в соответствии c первыми двумя уравнениями этой системы и подставляя их значения в третье уравнение, приходим к исходному уравнению объекта. Этот результат свидетельствует об эквивалентности обеих форм математического описания объекта.

Пример. 1.2. Уравнение объекта из примера 1.1. представить в форме (1.13). В соответствии с (1.14) находим ;

и из (1.13) следует искомые уравнения состояния

.

Разрешить первые два уравнения системы относительно , установим . Если этот результат подставим в последнее уравнение, то придем к исходному уравнению объекта. Таким образом, и вторая форма представления уравнений состояния эквивалентна исходному уравнению. Сами же переменные состояния в обоих случаях имеют различное определение. Обратим внимание на то, что в случае представления (1.11) матрица S является диагональной, в то время как матрица А этим свойством не обладает.

3. Если дифференцирующий оператор В(р) из (1.4) имеет порядок m < n, то переход к уравнениям состояния достаточно просто осуществить по следующей схеме [7]. Положив f(t) = 0 и обозначив , представим

Переменные состояния

при этом

В матричных обозначениях уравнения состояния приобретают вид

.

Отметим, что переменные состояния в данном случае не содержат явного физического смысла и являются абстрактными категориями.

4. Часто свойства ОУ изменяются во времени, т.е. он нестационарен. Если объект линейный, то формально нестационарность проявляется в том, что коэффициенты в уравнении объекта изменяются во времени и являются некоторыми функциями времени. Уравнение такого объекта при имеет вид

. (1.15)

Причем, как и в случае стационарного объекта, , а часть остальных коэффициентов может обращаться в нуль. Уравнения состояния для такого объекта получают в форме подобной (1.13):

;

. (1.16)

Однако квадратная n-матрица А(t), n-мерный вектор В(t) и скаляр d(t), формирующие эти уравнения, являются функциями времени и совместно с n-мерным вектором Свычисляются в соответствии в с выражениями

; ;

;

. (1.17)

В свою очередь

;

. (1.18)

5. От нелинейных уравнений к уравнениям состояния переход наиболее просто осуществляется в том случае, когда нелинейное уравнение не содержит производных от управляющего воздействия и может быть разрешено относительно старшей производной выходного процесса. Пусть объект описывается уравнением

. (1.19)

которое можно разрешить относительно

. (1.20)

Обозначив , введем переменные состояния по правилу

... = . (1.21)

Так как в соответствии с определением величины имеем , то из (1.20) с учетом (1.21) следует

(1.22)

Уравнения (1.21) и (1.22) совместно с уравнением для выходной координаты объекта и будут уравнениями состояния для случая (1.19). Если в рассмотрение ввести вектор-функциюΨ(.), компонентами которой являются правые части (1.21) , (1.22), то уравнения состояния можно представить в матрично-векторной форме

(1.23)

где вектор С определен в соответствии с (1.17) .

Этот метод перехода к уравнениям состояния часто применяют и к линейным уравнениям, предварительно разрешенным относительно старшей производной. Так, для примера 1.1, обозначив известную правую часть уравнения через и положив , в соответствии с (1.21) и (1.22) получим ; или в матрично-векторной форме

; Y = ; A = ; B = .

6. Изложенные подходы к образованию уравнений состояния успешно можно применять и к многомерным объектам. В результате усложняются соответствующие уравнения, однако внешняя структура их сохраняется. Поэтому в последующем будем полагать, что уравнения состояния объекта в достаточно общем случае имеют вид

(1.24)

Здесь Y(t) – n-мерный вектор состояния с компонентами ; U(t) – m-мерный вектор управлений с компонентами ; X(t) – l-мерный вектор управляемых процессов с составляющими ; Ψ - n-мерная вектор-функция с компонентами ; Ф -l-мерная вектор-функция .

Наличие самостоятельного аргумента t в (1.24) указывает на явную зависимость вектор-функций Ψ и Ф от времени, и такие объекты называют неавтономными [31]. Физически неавтономность означает, что к объекту помимо U(t) приложены и другие внешние воздействия F(t). При отсутствии аргумента t систему (1.24) называют автономной.

Функции Ψ и Ф предполагаются однозначными, а уравнения состояния удовлетворяются теореме существования и единственности решения. Так как вектор x(t) однозначно находится по Y(t) и U(t), то часто ограничиваются объектами управления, описываемыми только первым из уравнений (1.24). При этом принимают, что выходом объекта управления является вектор состояния. Именно такой точки зрения на математическое описание ОУ будем придерживаться в последующем.

7. Изложенные подходы к математическому описанию непрерывных объектов применимы и к дискретным объектам, у которых все входные и выходные процессы регистрируются только в дискретные моменты времени . Такие объекты описываются не дифференциальными, а разностными уравнениями, связывающими друг с другом выходные и входные процессы в различные дискретные моменты времени. Применительно к одномерному дискретному ОУ разностное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид

,

где .

Это уравнение, как и в непрерывном случае, руководствуясь принципами, близкими к изложенным, заменяют n математическое описание многомерного дискретного объекта в обобщенной матрично-векторной форме сводится к системе уравнений

, (1.25)

в составе которых смысловое содержание символов совпадает с таковым в (1.24), но все процессы рассматриваются в указанные дискретные моменты времени.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: