СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Определение 2.1. Сложными ставками ссудных процентов называются такие ставки, которые после очередного интервала начисления не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

2.1. Наращение по сложной процентной ставке (FV по r_c). Случай нецелого периода начисления. Случай переменной процентной ставки. Непрерывный способ начисления процентов. Случай начисления процентов m раз в году. Финансовые функции в ППП EXCEL (БС, БЗРАСПИС)

Наращение по сложной процентной ставке (FV по r_c).Сложные процентные ставки применяются в среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях.

Введем обозначение:

r_c– относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов.

Пусть интервал начисления составляет один год, т.е. n=1, тогда

Через год это же выражение будет применяться уже к сумме , то есть

…………

. (2.1.1)

Сравнивая эту формулу с формулой для простых процентов, можно увидеть, что чем больше n, тем больше величина наращенной суммы для сложных процентов.

Случай нецелого периода начисления.Если срок ссуды n в годах не совпадает с целым числом, то используется следующая формула:

,(2.1.2)

где – целое число лет, – оставшаяся дробная часть года, тогда .

На практике предпочитают пользоваться формулой (2.1.1) с нецелыми показателями степени, но при этом получается приблизительный результат, причем погрешность будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин.

Пример 1. Первоначальная сумма долга равна 50 млн денежных единиц. Определить наращенную сумму через 2.5 года по ставке r_c=25% годовых, используя формулы (2.1.1) и (2.1.2).

Решение.Используя формулу (2.1.1), получим

FV=50 000 000 ∙ (1+0, 25)^{2, 5} = 87 346 390 (ден. ед.).Используя формулу (2.1.2), получим FV=50 000 000 ∙ (1+0,25)²(1+0, 5∙0,25) = 87 890 625 (ден. ед.).

Ответ. Наращенная сумма, рассчитанная по формуле (2.1.1), составит 87 346 390 денежных единиц; наращенная сумма, рассчитанная по формуле (2.1.2), составит 87 890 625 денежных единиц.

Случай переменной процентной ставки.Предположим теперь, что на различных интервалах начисления применяются различные процентные ставки. Обозначим интервалы начисления через n₁, n₂,…., n_N и соответствующие им годовые процентные ставки обозначим через r₁, r₂,…., r_Nтогда

…………………….

. (2.1.3)

Непрерывный способ начисления процентов.Если проценты начисляются ежедневно, ежеквартально, ежемесячно и т.д., то такое начисление называется дискретным.

Кроме этого существует непрерывный способ начисления процентов:

. (2.1.4)

Здесь множитель наращения, или коэффициент наращения, имеет вид

(для простой процентной ставки коэффициент наращения

(1+rn)=k).

Для вывода формулы (2.1.4) используют второй замечательный предел:

, примененный к формуле наращенной суммы из следующего пункта, а именно

Случай начисления процентов m раз в году.Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году.

Определение 2.1.1. Если сложные проценты начисляются несколько раз в году, то в этом случае используется номинальная годовая процентная ставка обозначаемая используется символом j.

Пусть m – число интервалов начисления, n – общее число лет, тогда проценты за каждый интервал начисления будут начисляться по ставке , а наращенная сумма за весь период начисления составит

, (2.1.5)

Где mn – общее число периодов начисления процентов за весь срок проведения финансовой операции.

Определение 2.1.2. Эффективной процентной ставкой называется ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке .

Выведем формулу для нахождения величины эффективной ставки. Из уравнения

следует

тогда

Последняя формула служит для вычисления величины эффективной ставки.

Пример 1. Каков размер эффективной ставки r_c, если номинальная процентная ставка j = 25 % годовых при ежемесячном начислении процентов.

Решение.r_c=(1+0,25/12)¹² – 1 = 0,280732 ≈ 28%.

Замечание: Для участвующих в сделке сторон безразлично применять ли 25 % ставку при ежемесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28 %.

Ответ.Размер эффективной ставки составит 28 % годовых.

Финансовые функции в ППП EXCEL[1].Для вычисления наращенной суммы для сложной процентной ставки (постоянной) можно применять следующую функцию ППП EXCEL:

БС(ставка; число_периодов; выплата; нз; тип).

Здесь используются аргументыставка, число_периодов(см. табл.1приложения). В этом случае на рабочем листе ППП EXCEL формула примет вид:

=БС(ставка; число_периодов; ; нз).

Пример 2.Рассчитайте, какая сумма окажется на счете, если 27 тыс. денежных единиц размещены на 33 года под 13,5 % годовых. Проценты начисляются каждые полгода.

Решение.Для расчета применяется формула (2.1.1). В условии задачи указан годовой процент и число лет. Если проценты начисляются несколько раз в год, то необходимо рассчитать общее количество периодов начисления процентов и ставку по табл. 2приложения, в которой приводятся расчеты для наиболее распространенных методов начисления процентов в году.

Таким образом, при полугодовом начислении процента общее число периодов начисления равно 33 ∙2 (аргумент число_периодов), а процент за период начисления равен (аргумент ставка). По условию аргумент нз = -27. Это отрицательное число, означающее вложение денег. Используя функцию БС, получим БС( ;33∙2; ;–27) = 2012,07 (тыс. ден. ед.).

Проведем для сравнения расчет по формуле (3.1.1):

FV = 27· (1+0,135/2) ³³^{· 2} = 2 012,07 (тыс. ден. ед.).

Ответ.По истечении 33 лет на счете окажется 2 012,07 тысячи денежных единиц.

Если процентная ставка меняется с течением времени, то для расчета будущего значения инвестиции (единой суммы) после начисления сложных процентов можно использовать функцию ППП EXCEL БЗРАСПИС:

БЗРАСПИС(инвестиция;{ставка1; ставка2; ...; ставкаN}).

Если применяется массив процентных ставок-{ставка1 ставка2;…; ставкаN} , то ставки необходимо вводить не в виде процентов, а как числа, например, {0,1; 0,15; 0,05}. Однако проще записать вместо массива ставок соответствующий интервал ячеек, содержащих значения переменных процентных ставок.

Пример 3.По облигации номиналом 100 тыс. денежных единиц, выпущенной на 6 лет, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первый год– 10 %, в два последующих года – по 20 %, в оставшиеся три года– 25 %. Рассчитаем будущую (наращенную) стоимость облигации по сложной процентной ставке.

Решение.Пусть в ячейки А1:А6 введены числа 10 %, 20 %, 20 %, 25 %, 25 %, 25 % соответственно. Тогда наращенная стоимость облигации равна:

БЗРАСПИС(100; А1:А6) = 309,38 (тыс. ден. ед.).

При расчете по формуле (3.1.3) получим:

100∙(1+0,1)∙(1+0,2)∙(1+0,2)∙(1+0,25)∙(1+ 0,25)∙(1+ 0,25)=309,38 (тыс. ден. ед.)

Ответ. Будущая стоимость облигации по сложной процентной ставке составит 309,38 тысячи денежных единиц.

2.2. Дисконтирование по ставке сложных ссудных процентов (PV по r_c). Финансовые функции в ППП EXCEL(ПС)

Известно, что будущая стоимость фиксированных периодических платежей находится по формуле:

, (2.2.1)

, (2.2.2)

где – коэффициент наращения.

Пример 1. Определить современную (текущую, настоящую) величину суммы 100 000 000 денежных единиц, выплачиваемую через 3 года при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение.Используя формулу (2.2.2), получим

(ден. ед.).

Ответ.Современная величина составит 52 449 386 денежных единиц.

Функция ППП EXCEL ПС предназначена для расчета текущей стоимости как единой суммы вклада (займа), так и будущих фиксированных периодических платежей. Этот расчет является обратным к определению будущей стоимости при помощи функции БС:

ПС(ставка; кпер; вьплата; бс; тип).

Функция ПС вычисляется по формуле (2.2.2) и на рабочем листе ППП EXCEL принимает вид:

=ПС(ставка; кпер; ;бс).

Пример 2. Решите предыдущий пример, используя функции EXCEL

Решение.ПС(24%;3; ;100 000 000 )= 52 448 726,13 (ден. ед.).

Ответ.Современная величина составит 52 448 726,13 денежных единиц.

2.3. Определение величины процентных ставок (r_c, j). Финансовые функции в ППП EXCEL(СТАВКА, ЭФФЕКТ, НОМИНАЛ)

Из основной формулы для наращения суммы

получаем формулу для вычисления годовой процентной ставки сложного ссудного процента:

(2.3.1)

Формулу для номинальной годовой ставки можно получить из формулы:

. (2.3.2)

Функция ППП EXCEL СТАВКА определяет значение процентной ставки за один расчетный период. Для нахождения годовой процентной ставки полученное значение следует умножить на число расчетных периодов, составляющих год:

СТАВКА (кпер; ; нз; бс; тип; предположение).

Значение функции СТАВКА – это аргумент r формулы (2.3.1).

Замечание. Аргумент «предположение» по умолчанию равен 10 %. Функция СТАВКА также как и остальные финансовые функции в ППП EXCEL вычисляются методом последовательного приближения и может не иметь решения или иметь несколько решений. Если после 20 итераций погрешность превышает число 0,0000001, функция СТАВКА вернет значение ошибки #ЧИСЛО. В этом случае нужно задать другой аргумент «предположение».

Функция ЭФФЕКТ вычисляет действующие (эффективные) ежегодные процентные ставки, если заданы номинальная годовая процентная ставка и количество периодов, составляющих год:

ЭФФЕКТ(номинальная_ставка; кпер).

Пример 2.Рассмотрим заем в 1 000 тыс. денежных единиц с номинальной нормой процента 12% и сроком уплаты 3 года. Пусть весь заем и начисленные на него проценты будут выплачены единой суммой в конце этого срока. Какая сумма будет выплачена, если начисление процентов: а) полугодовое;

б) квартальное; в) месячное; г) ежедневное.

Решение.Рассчитаем будущую стоимость займа, используя эффективную процентную ставку. Вычислим эффективные ставки в ячейках А1:А4.

а) А1 = ЭФФЕКТ(12%;2) = 0,1236,

б) А2 = ЭФФЕКТ(12%;4) = 0,1255,

в) A3 = ЭФФЕКТ(12%;12) = 0,1268,

г) А4 = ЭФФЕКТ(12%;365) = 0,1275.

В ячейку В1 введем формулу для вычисления будущей стоимости займа B1= БС(А1;3; ; -1 000) и скопируем ее в В2:В4. Результаты расчетов для вариантов а) - г) находятся в ячейках В1:В4 соответственно: 1418,52; 1425,76; 1430,77; 1433,24.

Ответ.При полугодовом начислении процентов будет выплачена сумма 1418,52 тысяч денежных единиц, при квартальном – 1425,76 тысяч денежных единиц, при ежемесячном – 1430,77 тыс. денежных единиц, при ежедневном – 1433,24 тыс. денежных единиц.

Функция НОМИНАЛ вычисляет номинальную годовую процентную ставку, если известны эффективная ставка и число периодов, составляющих год:

НОМИНАЛ(эффект_ставка; кпер).

Значение функции НОМИНАЛ – аргумент jформулы (2.3.2).

Пример 3.Допустим, эффективная ставка составляет 28 %, а начисление процентов производится ежемесячно. Рассчитать номинальную ставку.

Решение.НОМИНАЛ(28 %;12) = 0,2494 или 24,29 %.

Ответ.Номинальная годовая процентная ставка будет равна 24,29 %.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: