Коэффициенты ковариации и корреляции

Для двух активов

Для инвестирования капитала лишь в актив одного вида необходимо, чтобы из всех имеющихся на рынке активов он бы л наилучший, т.е. его ожидаемый риск (дисперсия) был наименьшим, а ожидаемая доходность наибольшей. Что же должен делать инвестор, если такого актива на финансовом рынке не существует? В этом случае выгоднее выбрать не один актив, а несколько стремясь перераспределить (диверсифицировать) риск с целью уменьшения его количественной оценки. Степень возможности такой диверсификации зависит от характеристики, служащей мерой связи между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ковариации. Дадим ее определение коэффициента ковариации для двух дискретных случайных величин.

Пусть заданы две дискретные случайные величины своими
N значениями , . Обозначим их ожидаемые значения соответственно. Тогда коэффициентом ковариации случайных величин называют величину

. (3.1)

При получаем

.

Отметим, что . На ковариацию оказывает влияние не только связь между случайными величинами, но и их дисперсии. Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами прибегают к нормированию ковариации. Такая нормированная величина называется коэффициентом корреляции

. (3.2)

Пример 3.1.

Ежемесячные доходности акций PEPSIиMOBIL за 1987 год приведены ниже. Найти коэффициенты ковариации и корреляции.

PEPSI - : 19.712, 6.827, 3.489, -6.569, 9.375, 3.343, 8.333, 0, 2.359. -14.78, -8.487, 8.21

MOBIL - : 3.194, 2.952, -8.178, -17.812, -15.046, 15.926, 9.346, -2.165, 12.389,

-0.682, -0.267, 9.115

Решение

Найдем средние ожидаемые доходности, ожидаемый риск и среднеквадратическое отклонение для каждой акции по формулам (2.1), (2.2), (2.3).

Получим значения

.

Найдем значения ,

: 19.712-2.651, 6.827-2.651, 3.489-2.651, -6.569-2.651, 9.375-2.651, 3.343-2.651, 8.333-2.651, 0-2.651, 2.359-2.651. -14.78-2.651, -8.487-2.651, 8.21-2.651

: 3.194-0.731, 2.952-0.731, -8.178-0.731, -17.812-0.731, -15.046-0.731, 15.926-0.731, 9.346-0.731, -2.165-0.731, 12.389-0.731, -0.682-0.731, -0.267-0.731,

9.115-0.731

: 17.061*2.463, 4.176*2.221, 0.838*-8.909, -9.22* -18.543, 6.724*-15.777, 0.692*15.195, 5.682*8.615, -2.651*-2.896, -0.292*11.658, -17.431* -1.413 , -11.138*-0.998, 5.559*8.384

Cуммируя полученные значения и деля сумму на N-1=12-1=11 получим 1.8464, т.е.

.

Коэффициент корреляции вычисляем по формуле (3.2.)

Ответ: Коэффициент ковариации - 1.8464, корреляции - 0.23957.

4. Пакет активов и способы его задания

Пусть на рынке имеются различные активы и известны статистические данные для каждого актива, представляющие собой временные ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом. Напомним, что доходность за период вычисляется исходя из начальной и конечной цены актива и текущего дохода за период (см. пункт 1.). Для каждого актива можно вычислить его характеристики: среднюю ожидаемую доходность (2.1), дисперсию (2.2), среднеквадратическое отклонение (2.3). Для каждой пары активов можно вычислить коэффициенты ковариации (3.1) и корреляции (3.2). Инвестор из имеющихся активов выбирает те, в которые он собирается вложить свой инвестиционный капитал. Такой набор активов имеет и другое название - пакет активов. В пакет активов будут входит различные активы имеющиеся на рынке, характеристики которых известны.

Пусть - пакет из n различных активов. Пусть доходность каждого актива (i=1,2,...,n) - случайная величина . Будем обозначать характеристики этой случайной величины - (средняя ожидаемая доходность, ожидаемый риск, среднеквадратическое отклонение). Тогда для пакета активов определяют его характеристики:

вектор средних -

матрица ковариации -

матрица корреляции -

где - коэффициент ковариации случайных величин , - коэффициент корреляции случайных величин .

Матрицы ковариации и корреляции симметрические матрица, т. к . По диагонали в матрице ковариации стоят дисперсии, а в матрице корреляции 1.

Итак для задания пакета достаточно задать вектор средних пакета и его матрицу ковариации (корреляции ).

Пример 4.1.

Найти характеристики пакета составленного из акций PEPSIиMOBIL за 1987 год.

Решение

Положим, что актив - PEPSI, а - MOBIL. Воспользуемся результатами примера 3.1. Средняя ожидаемая доходность акции PEPSI- 2.651, а акции - 0.731. Значит . Поэтому вектор средних - . Дисперсия для первого актива - 6.7979, для второго - 8.737769,

коэффициент ковариации - 1.8464, т.е. .

Используя эти результаты получаем матрицу ковариации пакета

.

Коэффициент корреляции - 0.23957, поэтому матрица корреляции

.

Ответ: матрица корреляции пакета - , матрицу ковариации пакета , вектор средних - .

Задачи

Имеется пакеты акций 4.1. {AMEX, CBS},4.2.{EXXON, CBS},4.3. {EXXON, AMEX}.Найти характеристики этих пакетов. Доходности за 1987 год приведены ниже.

AMEX: 20.088, 8.824, 1.02, -8.403, -0.917, 2.044,7.664, 0.678, -3.367, -32.223, -7.254, 2.235

CBS: 9.941, 15.846, -5.435, 7.553, -0.458, 8.166, 11.325, 3.903, 11.619, -23.533, -9.558, 1.046

EXXON: 18.004, -4.199, 9.41, 1.02, 1.472, 7.184, 0.938, 6.906, -2.384, -12.339, -12.610, 3.741

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: