Сделай Сам Свою Работу на 5

Смешанное произведение трех векторов





 

Определение. Число [ , – называют смешанным произведение упорядоченной тройки векторов , , .

Обозначаем: ( , , ) = = [ , .

Так как в определении смешанного произведения участвуют векторное и скалярное произведения, то их общие свойства являются свойствами смешанного произведения.

Например, ( l ) = l ( ).

 

Теорема 1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.

Доказательство. Если данная тройка векторов , , компланарная, то для векторов выполняется одно их следующих условий.

1. В данной тройке векторов есть хотя бы один нулевой вектор. В этом случае доказательство теоремы очевидно.

2. В данной тройке векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Если || , то [ , = 0, так как [ , ]= . Если

|| , то [ , ] ^ и [ , = 0. Аналогично, если || .

3. Пусть данная тройка векторов компланарная, но случаи 1 и 2 не выполняются. Тогда вектор [ , ] будет перпендикулярным плоскости, которой параллельны все три векторы , , .

Следовательно, [ , ] ^ и ( , , ) = 0.

Теорема 2. Пусть в базисе { } заданы векторы ( ), ( ), ( ). Тогда

( , , ) = .

Доказательство. Согласно определению смешанного произведения



( , , ) = [ , = с1 с2 + с3 = .

В силу свойств определителя имеем:

 

= − = .

Теорема доказана.

Теорема 3. ( , , ) = × [ , ].

Доказательство. Так как

( , , ) = ,

а в силу свойств определителя имеем:

= ,

то

( , , ) = = = [ , = × [ , ].

Теорема доказана.

 

Теорема 4. Модуль смешанного произведения некомпланарной тройки векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на представителях данных векторов с общим началом.

Доказательство. Выберем произвольную точку О и откладываем от нее представители данных векторов , , : , . В плоскости ОАВ построим параллелограмм ОАDB и, добавляя ребро ОС, построим параллелепипед ОАDBCA¢D¢B¢. Объём V этого параллелепипеда равен произведению площади основания ОАDB на длину высоты параллелепипеда ОО¢.

Площадь параллелограмма ОАDB равна |[ , ]|. С другой стороны

|OO¢| = | | |cos j|, где j – угол между векторами и [ , ].

Рассмотрим модуль смешанного произведения :

|( , , )| = | [ , | = |[ , ]|×| |×|cos j| = |[ , ]|×|OO¢| = V.



Теорема доказана.

Замечание 1. Если смешанное произведение тройки векторов равно нулю, то эта тройка векторов линейно зависимая.

Замечание 2. Если смешанное произведение данной тройки векторов положительно, то тройка векторов правая, а если отрицательно, то тройка векторов левая. Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cos j, а величина угла j определяет ориентацию тройки , , . Если угол j – острый, то тройка правая, а если j – тупой угол, то тройка левая.

Пример 1.Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и координаты следующих векторов в ортонормированном базисе: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (–3; –2; 5).

Найти: 1) объем параллелепипеда;

2) площади граней ABCD и CDD1C;

3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD1.

Решение.

1) Данный параллелепипед построен на векторах

Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.

(куб.ед.)

Итак, Vпар = 12 куб.ед.

2) Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Т.о. .

Введем обозначение: ,тогда

 

Следовательно, (6; – 8; – 2), откуда

.

Т.о. кв.ед.

Аналогично,

Пусть , тогда

,

откуда (15; – 20; 1) и

Значит кв.ед.

3) Введем следующие обозначения: пл. (АВС)= , пл. (DCC1)= .

.

Согласно определению векторного произведения имеем:

и .

А значит справедливо следующее равенство:

.

Из второго пункта решения имеем:

.

тогда

.

Итак,

 

Пример 2.

Доказать, что если , , – взаимно перпендикулярные единичные векторы, то для любых векторов и справедливо равенство:



 

. (1)

Решение.

Пусть в ортонормированном базисе { , , } заданы координаты векторов: ; . Так как , , , то по свойству смешанного произведения имеем:

 

,

,

.

 

Таким образом, равенство (1) можно записать в следующей форме: , а это одно из доказанных свойств векторного произведения векторов и . Тем самым справедливость равенства (1) доказана.

 

 

Решение нулевого варианта

Контрольной работы

Задание № 1.

Вектор образует с базисными векторами и соответственно, углы и . Определить угол, который образует вектор с вектором .

Решение.

Построим параллелепипед на векторах , , и на диагонали , такой, что векторы и равны.

Тогда в прямоугольном треугольнике с прямым углом , величина угла равна , откуда .

Аналогично в прямоугольном треугольнике с прямым углом величина равна , откуда .

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора находим:

.

Так как

и

,

то

.

В прямоугольном треугольнике с прямым углом катет , а гипотенуза . Значит, величина угла равна . Но угол равен углу между векторами и . Тем самым задача решена.

 

Задание № 2.

Заданы три вектора , , в базисе { , , }. Доказать, что четырехугольник – плоский. Найти его площадь.

Решение.

1. Если векторы , и компланарные, то – плоский четырехугольник. Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов.

.

Так как определитель равен нулю, то векторы , и компланарные, а значит, четырехугольник – плоский.

2. Заметим, что , поэтому и , таким образом четырехугольник трапеция с основаниями АВ и CD.

 

C
D

 

 

Тогда

.

По свойству векторного произведения имеем:

,

.

Так как

,

то

(0; 0; 5).

 

Так как

,

то

.

Находим векторное произведение

,

откуда

.

Значит

.

,

откуда

.

Значит

.

Тогда

.

Задание № 3.Найти вектор , коллинеарный вектору (2; 1; –2), у которого длина равна 5.

Решение.

Обозначим координаты вектора (х, у, z). Как известно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, и поэтому имеем:

х = 2t, y = t, z = − 2t.

По условию задачи | | = 5, а в координатной форме:

.

Выражая переменные через параметр t, получим:

4t2 +t2 +4t2 =25,

откуда

t2 = .

Таким образом,

t = ±

и

х = ± , у = ± , z = .

Получили два решения:

1 ( ; ; − ), 2 (− ;− ; ).

 

 

Тест

Вариант 0.

А 1. Лучи [А, В) и [С, D), лежащие на одной прямой (А, В), называются сонаправленными, если

1) они лежат в одной полуплоскости с границей (А,С)

2) их пересечением является луч; 3) они не пересекаются

4) другой ответ

А 2. Свойство лучей быть противоположно направленными

1) транзитивно 2) симметрично 3) рефлексивно 4) другой ответ

А 3. Вектором в пространстве мы называем

1) отрезок 2) направленный отрезок 3) класс эквиполлентных направленных отрезков 4) другой ответ

А 4. Вычислить определитель

1) 17 2) 16 3) –17 4) 12.

А 5. Найти длину вектора (5, 4, 0)

1) 2) 3) 9 4) другой ответ

А 6. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?

1) 5 2) – 4 3) 10 4) 4

А 7. Найти сумму , если векторы и коллинеарные

1) 6 2) 18 3) – 6 4) 0

 

А 8. Если , то векторы и
1) сонаправленые 2) противоположно направленые 3) перпендикулярные 4) равные

А 9. Дано: . Модуль вектора равен
1) 1 2) 3) 4) 5

А 10. Вычислить определитель
1) 1 2) 3 3) –1 4) – 3

А 11. Найти векторное произведение векторов (0; –1; 1). (1; –1; 3)

1) (–2; –1; 1) 2) (–2; 1; 1) 3) (2; 1; 2) 4) другой ответ

А 12. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .
1) 30 2) 15 3) 60 4) другой ответ

А 13. Какая из следующих троек векторов является компланарной?

1) (3; 0; 2), (–5; 3; – 1), (6; 0; 3) 2) (2; 0; 3), (7; 1; 6) , (6; 0; 5)
3) (2; 0; 3), (–1; 7; 2) , (5; –3; 6) 4) (1; –2; 1), (3; 2; 1) , (1; 0; –1)

А 14. Найти вектор , перпендикулярный к векторам (1; 0; 2) и (0; –1; 3) такой, что , и при этом тройка векторов – левая.

1) 2) 3) 4)

А 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

(1; – 2; 1), (3; 2; 1) и (1; 0; –1)
1) 24 2) 10 3) 12. 4) 0

 

 

отв

 

Список литературы

1. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. – М.: Наука, 1990.

2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1986.

3. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Геометрия. – Ч. 1. – М.: Просвещение, 1974.

4. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Под ред. В.Т. Базылева. Сборник задач по геометрии. – М.: Просвещение, 1980.

5. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч.пособие. – М.:, 2003.

6. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2005.

7. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.– С. Петербург, 1997.

8. Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1973.

9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М., 2004. – 464 с.

10. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2003. – 584 с.

11. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.1. – Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. – 271 с.

12. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.2. – Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. – 267 с.

13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: МГУ, 1980. – 320 с.

14. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964.

15. А.В. Погорелов. Геометрия.– М.: Наука, 1984.

16. О.Н. Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии.– М.: Наука, 1966.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.