Взаимное расположение плоскостей
где - нормальные векторы плоскостей. Следовательно, плоскости: 1) совпадают, если 2) параллельны, если 3) в остальных случаях пересекаются.
Угол между плоскостями:
где - нормальные векторы плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости
и точка M(x0, y0, z0).
Прямая в пространстве.
1) общее уравнение прямой – линия пересечения двух непараллельных плоскостей:
2) -каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(x0, y0, z0) параллельно направляющему вектору q(l, m, n).
3)
- параметрическое уравнение прямой.
Взаимное располож.прямых в пространстве:
Тогда прямые L1 и L2:
1) скрещиваются, если
2) пересекаются, если и вектор q1 не коллинеарен вектору q2.
3) параллельны, если и точка
4) совпадают, если и точка
Угол между прямыми в пространстве:
Пусть заданы прямые где и - направляющие векторы прямых. Тогда Расстояние от точки до прямой в пространстве:
Прямая и точка M(x0, y0, z0). Тогда расстояние от точки M до прямой L: , где M0 – точка, принадлежащая прямой L, q – направляющий вектор прямой L.
Расстояние между скрещивающимися прямыми:Пусть заданы прямые где и - направляющие векторы прямых. Также Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми:
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве:
,задана прямая и точка , где - направляющий вектор прямой, - вектор нормали плоскости.
1) Прямая лежит в плоскости, тогда , т.е. и иточка .
2) Прямая параллельна плоскости, тогда , т.е. и точка .
3) Прямая пересекает плоскость, тогда , т.е.
Угол между прямой и плоскостью:
,задана прямая, где - направляющий вектор прямой, - вектор нормали плоскости.
Эллипс, гипербола и парабола.
Эллипс
где a – большая полуось, b –малая полуось.
Параметры:
- вершины эллипса. - центр эллипса.
OX, OY – оси симметрии.
- расстояние от центра до фокуса. - фокусы.
- эксцентриситет.
- директрисы эллипса.
M – произвольная точка, лежащая на эллипсе.
Фокальное свойство.
-сумма расстояний от любой точки М, лежащей на эллипсе, до фокусов есть величина постоянная и равна 2а.
Директориальное свойство.
Оптическое свойство.
Луч света, пущенный из одного фокуса, отражаясь от зеркальной поверхности эллипса, попадает в другой фокус.
Гипербола.
, где a –действительная полуось, b – мнимая полуось.
Параметры:
-вершины гиперболы.
-центр гиперболы.
OX, OY – оси симметрии.
-асимптоты.
-расстояние от центра до фокуса. -фокусы гиперболы.
-эксцентриситет.
-директрисы гиперболы.
M – произвольная точка, лежащая на гиперболе.
Фокальное свойство:
Директориальное св-во:
Оптическое св-во:
Луч света, пущенный из одного фокуса, отражается от ее зеркальной поверхности так, как будто он пущен из другого.
Парабола:
p – параметр параболы.
- вершина.
OX – ось симметрии.
-фокус. E=1 – эксцентриситет
. - директриса
M – произвольная точка, лежащая на параболе.
Директориальное св-во:
Оптическое свойство:
Луч света, пущенный из фокуса парабола, отражается от ее зеркальной поверхности параллельным пучком.
Поверхности 2-го порядка:
Эллипсоид -
Однополостный гиперболоид -
Двуполостный гиперболоид -
Конус второго порядка -
Эллиптический параболоид -
Гиперболический параболоид -
Эллиптический цилиндр 2-го порядка -
Гиперболический цилиндр 2-го порядка -
Параболический цилиндр 2-го порядка -
11. Матрицы.Матрицей размером m×n называется совокупность m•n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Сложение матриц.Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
Св-ва операций слож матриц и умнож на число:
1)А+В=В+А
2)(А+В)+С=А+(В+С)
3)сущ 0 принадл матриц раз-ра mxn(R):А+0=А
4)для любого А сущ(-А) принадл матриц раз-ра mxn(R):А+(-А)=0
5) (А+В)= А+ В
6)( + )А= А+ А
7) ( А)= ( )А
8)1*А=А
Умножение матриц.Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.
Св-ва умнож матриц:
1) АВ=ВА 2)А(ВС)=(АВ)С 3)(А+В)С=АС+ВС 4)А0=0А=0
5)АЕ=ЕА=А 6) (АВ)=( А)В=А В
Обратная матрица.
Квадратная матрица явл-ся обр-ой к квад-ой матрице А,если А* = *А=Е,где Е-единич матрица,т е матрица у котор на главной диагонали 1,а все остальные 0.
Св-ва обр матрицы:
1)
2)
3)
4)det А*det =1
Подстановки.
3 способа подсчета четности подстановки:
1) Инверсия – перестановка двух соседних номеров.
2) Транспозиция – перестановка двух произвольных номеров.
3) Беспорядок - числа ki и kj образуют в перестановке беспорядок, если при i<j
имеет место ki>kj .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|