Плоскость в пространстве.

Векторы, сложение и вычитание.

Вектором-направленный отрезокю.Вектор характеризуется 2 свойствами: длина и направление. Вектор из начала координат в точку называется радиус-вектор.Вектор длина котор=1 наз-ся единич или ортом,

Свойства сложения: 1) (а+b)+c = a+ (b+c); 2) a + 0 = a; 3) a+(-a) =0; 4) a+b=b+a

Вычитание:а и b приложены к одной т., то р-ть этих векторов–вектор,с-й конец 2го с концом 1го. Пр-ние в-ра на число: α*а – вектор b=α*a :1)IbI=|α|*|a|,a и b сонапр, если α>0, или противополож., если α<0. b=0,если α=0 Св-во лин-ых оперц.:1)a+b=b+a 2(a+b)+c=a+(b+c) 3)сущ. 0:a+0=a 4)для люб. А сущ (-а):а+(-а)=0 5)α(а+b) = αa+αb 6)(α+β)a = αa+βa; 7) α(βa) = (αβ)a 8)1*а=а

ЛЗ и ЛНЗ.

С-ма в-ров линейн прост-ва V наз-ся ЛЗ,если сущ.числа а1,а2…аn неравн одновр 0(а1^2+a2^2+…+an^2>0)т.ч. лин.комб.=0

С-ма в-ров линейн прост-ва V наз-ся ЛНЗ,если раве-во 0 их лин.комб. возмж тольк в случ-е одноврем рав-ва 0 всех коэф.,а1,а2…аn.

Проекциейвектора а на b наз числ по ф-ле

Базисом на прямой наз-ся любо ненул вектор,на плоскости упорядочен пара неколинеар векторов,в пространстве упорядоч тройка некомпланар венкторов

Скалярное произведение векторов, его свойства.

Скаляр произвед вектора а на вектор b наз-ся число, равное (а, b) = |a||b|* cos(a,b). Св-ва скаляр произвед: 1) ; 2) (a,b)=(b,a); 3)(αa,b) = α(a,b); 4)(a+b,c)= (a,c)+(b,c) 5)IaI=

Правые и левые тройки и Векторное произведение

Упорядоч тройка некомпланарн векторов наз-ся правой,если из конца 3го век-а перезод от 1го ко 2му происх-т против часовой стрелки, в др. случае тройка левая

Векторным произвед вектора a на вектор b называется вектор c, [a,b]=c, такой что: 1)|с|=|a||b|sin(a,b); 2) 3) a, b, c – правая тройка. Хотя бы если один из векторов равен 0, то векторное произведение по определению равна 0. Св-ва векторного произведения: 1) [a,b]=-[b,a]; 2) [αa,b]=α[a,b]; 3) [a+b,c] = [a,c]+[b,c]; 4) a||b <=>[a,b] = 0; 5)Sпарал=|[a,b]|

Если векторы a и b заданы координатами (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) соответственно, то векторное произведение находится по формуле

Смешанное произведение, его свойства.

Смешанным произвед векторов a, b, c называется число ([a,b],c), равное скаляр произвед векторного произвед векторов a и b на вектор c. смеш произв векторов = опр-лю 3его порядка в строках котор нах-ся корд перемнож векторов

Св-ва смеш произв.:

1)смеш произв линейно по каждому из своих 3ех аргументов

Геометрическое св-во см.пр:

2) если см.пр.V>0, то a, b, c – правая тройка., а если V<0, то левая; где V – объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах. V_{тетраэдра} = 1/6 * V; 3) Три вектора a, b, c компланарны ó ([a,b],c)=0.

Основные св-ва смеш. пр:

(a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)= -(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a).

Если векторы a, b, c заданы своими координатами (x₁, y₁,z₁), (x₂, y₂, z₂) и (x₃, y₃,z₃) соответственно, то смешанное произведение может быть найдено по формуле:

Двойное смеш произв

Выраж-е [а,[b,c]] наз-ся 2ым векторным произвед и представл собой вектор перпендик векторам [b,c] и а следов он и лежит в плос-ти вектров b и с

Утверждение

[a,[b,c]]=(a,c)b – (a,b)c

6. Коллинеарные и компланарные векторы.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (сонаправленными, если их направления совпадают; противоположнонаправленными, если их направления противоположны).

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Если смешанное произведение 3 векторов равно 0, то они компланарны. Если три вектора компланарны, то эта тройка не относится ни к правой, ни к левой.

Прямая на плоскости.

1)Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой на плоскости. 2) - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀, y₀), параллельно направляющему вектору q(l,m).

3) => - параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀, y₀), параллельно направляющему вектору q(l,m).

4)Если С не равно 0, то можно получить ур-е прямой в отрезках: - уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.

5) Если B не равно 0, то можно получить ур-е с угловым коэффициентом. - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

6) - уравнение прямой через 2 точки.

Взаимное располож прямых на п-ти:

Даны 2 прямые L₁: A₁x+B₁y+C₁z+D=0, L₂: A₂x+B₂y+C₂z+D=0. Следовательно, прямые: 1) совпадают, если ; 2) параллельны, если ; 3) пересекаются, если .

Прямые на пл-ти совп или парал если их напр векторы коллинеарны,а значит их корд пропорциональны

1)совпадают,если и

2)параллельны, если и

3)пересекаются,если

Если прямые L1 и L2 заданы Ур-м с угловым коэф L1:y=k1x+b1 и L2:y=k2x+b2 то эти прямые 1)совпад если k1=k2 u b1=b2 2)парал если k1=k2 u b1 b2 3)пересек если k1 k2

Угол между прямыми на:

Плоскость: заданы 2 прямые

Тогда

Если прямые заданы каноническим ур-м

Расстоние от точки до прямой на плоскосит:

Плоскость в пространстве.

1) Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости.

2) Если D не равно 0, то можно вывести уравнение плоскости в отрезках: , где , где а, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью от координатных осей.

3) Уравнение плоскости по 3 точкам: Пусть . Если A, B, C не лежат на одной прямой, то уравнение можно найти по формуле , где - координаты данных точек, а - координаты точки, принадлежащей плоскости P.

4)Ур-е через задан точку парал двум векторам А(x0,y0,z0), a(a1,a2,a3) u b(b1,b2,b3)

5)параметрическое ур-е

векторам А(x0,y0,z0), a(a1,a2,a3) u b(b1,b2,b3)

6)в векторном виде(получаем из параметрического)

r=r0+ta+sb

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: