Системы линейных уравнений

123

Основные определения

Определение 1.Системой линейных уравнений относительно неизвестных называется система уравнений вида

где произвольные заданные числа – коэффициенты уравнений, свободные члены.

Если ввести матрицы

то систему уравнений можно записать в матричном виде

Матрица называется основной матрицей системы, матрица расширенной матрицей системы.

Если , то система называется квадратной. Если все , система называется однородной.

Определение 2.Решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел , которая при подстановке в систему вместо неизвестных превращает систему уравнений в систему тождеств. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной (разрешимой).

Определение 3.Всякое решение совместной системы называется ее частным решением. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Определение 4.Две системы уравнений называются эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой.

В следующей теореме формулируется условие совместности системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера – Копелли.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы этой системы.

Теорема(о числе решений совместной системы). Всякая совместная система уравнений с неизвестными ранга при имеет единственное решение. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Выделим в основной матрице совместной системы базисный минор.

Определение 5. Уравнения системы, соответствующие базисным строкам матрицы, называются базисными уравнениями. Их совокупность называется базисной системой уравнений. Неизвестные, коэффициенты при которых образуют базисные столбцы матрицы системы, называются главными неизвестными, остальные – свободными.

Всякая линейная система эквивалентна системе своих базисных уравнений.

При решении линейной системы, прежде всего, выделяют базисную систему. Если базисная система является совместной и состоит из уравнений с неизвестными, то далее главных неизвестных выражают через свободных.

Квадратные системы. Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными . Матрица является квадратной. Ее определитель называется определителем системы. Заменим в определителе й столбец на столбец свободных членов и обозначим получившийся определитель через :

Правило Крамера. Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

Заметим, что базисная система уравнений относительно главных неизвестных при фиксированных значениях свободных переменных может быть решена по правилу Крамера. Каждому набору свободных неизвестных будет соответствовать единственный набор главных неизвестных.

Правило Крамера применимо только к решению квадратных систем с невырожденной матрицей. Равенство нулю не означает, что система не совместна. К решению таких систем следует применять другие методы, например, метод Гаусса. Отметим так же, что пользоваться формулами Крамера имеет смысл при решении систем небольшого порядка, иначе возникают трудности с вычислением определителей.

Пример.Решить систему уравнений:

Определитель системы

поэтому система совместна и имеет единственное решение. Определители :

Тогда

Метод Гаусса

Идея метода Гаусса состоит в том, что путем последовательного исключения неизвестных система уравнений превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) эквивалентную систему уравнений.

Ступенчатой системой называется система вида

где и . При получаем треугольную систему. Очевидно, что треугольная система имеет единственное решение. Если , то система уравнений является неопределенной. При этом первых переменных можно принять за главные, а остальные за свободные неизвестные.

Для приведения системы уравнений к ступенчатому виду используются следующие преобразования, переводящие систему в эквивалентную:

1) перестановка любых двух уравнений,

2) умножение обеих частей уравнений на одно и тоже число,

3) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения.

В результате таких преобразований получается или совместная ступенчатая система, эквивалентная исходной, или несовместная ступенчатая система. Несовместной будет система, в которой одно из уравнений имеет в правой части отличный от нуля свободный член, а коэффициенты в левой части равны нулю. В этом случае исходная система также несовместна.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему, а ее расширенную матрицу, выполняя все преобразования над ее строками.

Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений