Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Примеры

1. Найти плоскость, проходящую через точку , параллельно плоскости .

Для данной плоскости вектор нормали . Используя условие параллельности двух плоскостей, напишем уравнение искомой плоскости:

, отсюда .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Воспользуемся уравнением , получим определитель

, затем – общее уравнение плоскости

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

Данная прямая проходит через точку с направляющим вектором . Составим вектор . Вектор нормали искомой плоскости должен быть перпендикулярен векторам и , т.е. . Тогда, используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали, получим , отсюда получаем общее уравнение плоскости .

4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям .

Векторы нормали заданных плоскостей соответственно равны . Вектор нормали искомой плоскости должен быть перпендикулярен этим двум векторам, т.е.

. Тогда используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали получим , отсюда получаем общее уравнение плоскости

5. Найти угол между плоскостями

Векторы нормали заданных плоскостей соответственно равны . Тогда используя формулу , получим , т.е. плоскости перпендикулярны.

6. Доказать, что прямые , пересекаются.

Используем условие принадлежности двух прямых плоскости

, получим определитель 0. Следовательно, эти прямые пересекаются.

7. Найти точку пересечения прямой с плоскостью

Запишем параметрическое уравнение прямой .

Подставим полученные в уравнение плоскости , получим

, тогда . Подставляя полученное значение в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты пересечения прямой и плоскости .

8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Из условия направляющий вектор прямой будет вектором нормали для искомой плоскости, т.е. . Напишем уравнение плоскости, проходящею через заданную точку, с заданным вектором нормали

. Отсюда получим общее уравнение плоскости .

9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Из условия вектор нормали плоскости будет направляющим вектором для искомой прямой, т.е. . Напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с заданным направляющим вектором, т.е. каноническое уравнение прямой .

10. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .

Эта задача решается в три этапа:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , это будет .

Находим точку пересечения прямой и плоскости . Это будет точка .

Теперь решаем задачу о нахождении координат точки симметричной данной плоскости - прямой. Координаты этой точки, которую обозначим , вычисляются по формулам . Отсюда получим искомую точку .

11. Найти расстояние от точки до прямой .

Эта задача решается в три этапа:

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Вычислим проекцию точки на плоскость, для чего найдем пересечение прямой и плоскости . Это будет точка .

И наконец находим расстояние от точки до прямой .

Кривые второго порядка

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная и равная (рис. 5).

Рис. 5

Каноническое уравнение эллипса

Параметры и называются полуосями эллипса, большой и малой соответственно, если . Фокусы и находятся на оси Ох на расстоянии от центра.

Эксцентриситет эллипса есть отношение .

Расстояния точки эллипса от его фокусов определяются формулами , .

Примеры

1. Дано каноническое уравнение эллипса , найти его фокусы и эксцентриситет.

Из уравнения =4, =2, тогда и, следовательно, фокусы имеют следующие координаты , а эксцентриситет .

2. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось равна 3.

Из условия имеем , а . Тогда , отсюда .

Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид .

3. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что большая полуось равна 6, а эксцентриситет равен 0,5.

И условия . Тогда , отсюда . Используя формулу , найдем .

Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная и равная (рис. 6).

Рис. 6

Каноническое уравнение гиперболы .

Параметр называется вещественной полуосью, а - мнимой полуосью.

Эксцентриситет гиперболы есть отношение .

Расстояния точки от его фокусов определяются формулами: , .

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Гиперболы и называются сопряженными.

Примеры

1. Дана гипербола . Найти ее асимптоты, фокусы, эксцентриситет.

Из условия , тогда получим уравнения асимптот . Найдем расстояние от центра до фокуса , а затем напишем координаты фокусов и вычислим эксцентриситет .

2. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами , а между вершинами

Из условия , тогда из формулы получим , теперь можно написать каноническое уравнение гиперболы .

3. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что вещественная полуось , а эксцентриситет .

Используя формулу , найдем , тогда из формулы получим , теперь можно написать каноническое уравнение гиперболы .

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек , одинаково удаленных от данной точки – фокуса и данной прямой – директрисы (рис. 7).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. - парабола, симметричная относительно Ох;

Рис. 7

2. - парабола, симметричная относительно Oу.

Парабола имеет фокус и директрису .

Примеры

1. Составить геометрическое место точек, одинаково удаленных от точки и прямой

Из условия , получаем , следовательно, это парабола, каноническое уравнение которой имеет вид или .

2. Написать уравнение параболы, проходящей через точку и и симметричной относительно оси Ох.

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат, имеет вид . Подставим в это уравнение координата второй точки получим , тогда искомое уравнение имеет вид .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: