Решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1

Следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем решение системы:

Пример 2

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть найдено по формулам:

где численные значения z задаются произвольно.

Пример 3

Следовательно, система несовместна.

Векторная алгебра

Основные понятия

Вектором будем называть направленный отрезок , в котором - начало, а - конец вектора ; - длина вектора .

, .

Векторы , параллельные одной прямой или лежащие на этой прямой , называются коллинеарными .

Два вектора и называются равными , если они имеют одно и то же направление , и .

Векторы , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях .

Произведением вектора на число называется вектор, длина которого равна , коллинеарный вектору , совпадающий с ним по направлению , если > 0 , и противоположно направленный , если < 0 .

Проекцией вектора на ось называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось , которая обозначается пр_l (рис. 1).

Рис. 1

Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между положительным направлением оси и вектором, пр_l = = .

Если заданы точки и , то тогда вектор

Теперь найдем разложение вектора на составляющие, направленные по осям координат ,

Векторы образуют базис в пространстве R³ и называются ортами (рис 2).

ij У

Рис. 2

Выражение вида называется разложением вектора на составляющие, направленные по осям координат.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение векторов и определяется соотношением

, где - угол между векторами и .

Пусть даны два вектора .

Скалярное произведение двух векторов в этом случае вычисляется по формуле

Используя скалярное произведение, запишем формулы для вычисления проекции вектора на вектор и наоборот,

, , - угол между векторами.

Нормой вектора называется выражение вида .

Если вектор задан в декартовой системе координат , то его длина

равна норме вектора .

Направляющие косинусы вектора

Из определения скалярного произведения двух векторов имеем , где - угол между векторами и (рис. 3).

Пусть дан вектор в базисе .

Рис. 3

Тогда , где - углы, образованные вектором с осями X , Y ,Z cответственно . Полученные таким образом косинусы называются направляющими косинусами вектора и обладают свойством : .

Пусть даны два вектора

Вычислить

1. Скалярное произведение

2. Угол между векторами

= , .

3. Проекции векторов друг на друга

= , =

4. Направляющие косинусы вектора

5. Определить, при каком значении векторы будут ортогональны.

, отсюда .

6. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

Из условия коллинеарности , тогда , отсюда

7. Даны векторы и , известно , что и угол между векторами и равен .

Вычислить скалярное произведение векторов

= .

8. Найти норму вектора ,

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов и называется вектор такой , что

а) , где - угол между векторами ;

б) перпендикулярен плоскости, образованной векторами и , и направлен так, что, находясь на конце вектора , можно наблюдать перемещение вектора к вектору против часовой стрелки (рис. 4).