Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Система называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел, при котором выполняется соотношение: k1A1+k2A2+…knAn *≠0.Система А1 – An линейно зависима, если хотя бы один из векторов разлагается по остальным векторам этой системы.Система A1 – An линейно зависима, если n>m.

Система называется линейно независимой, если соотношение равно нулю тогда и только тогда, когда k-k1 – нулевой набор чисел.

Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейно независима.

Диагональная система линейно независима

Если вектор An не разлагается по системе векторов A1 – An-1, то вся система A1 – An линейно независима.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
# Любая система векторов является либо зависимой, либо независимой;
# Если часть системы A1 – An линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
# Если часть системы A1 – An линейно независима, то и вся система линейно независима.
# Если система A1 – An линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы разлагается по остальным векторам.
# Если система векторов A1 – An линейно зависима, и её часть A1 – An-1 линейно независима, то вектор An разлагается по системе A1 – An.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Условие линейной зависимости векторов.

Определение. Система векторов из Rⁿ линейно называется линейно независимой, если из следует равенство нулю всех коэффициентов .

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Теорема. Система векторов из Rⁿ линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов из Rⁿ линейно выражается через остальные векторы системы.

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.

В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса :

1. Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.

2. Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.

3. Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.

Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Процесс решения состоит из двух этапов. В первом систему приваодят к ступенчатому виду. Во втором решают ступенчатую систему. Если ступенчатая система оказывается треугольной, то исходная система имеет единственное решение.

Формулы Крамера. Решение неоднородной системы уравнений с неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам

,

где - определитель системы; - определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её -го столбца столбцом свободных членов.

Примеры

1. Решить систему уравнений

Решение. Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два - за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный

минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать .

Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через . Затем подставим его в первое уравнение и найдём через . В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив , общее решение системы можно записать в виде

.

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b.

Здесь A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Две системы относительно одних и тех же неизвестных эквивалентны, если множества их решений совпадают.

Системы A·x = b и B·A·x =B·b эквивалентны, если матрица B невырождена

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: