Свойства (умножения матриц).

1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо .

2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,

, .

3) .

5. Линейное пространство и его свойства, линейно зависимые и независимые вектора, их свойства. Базис и размерность линейного пространства.

Определение 1.Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых и выполняются равенства:

а) Умножение на не изменяет , т.е. .

б) .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .

Обозначение. .

//НАПОМИНАНИЕ

Абелева (коммутативная) – значит «+» коммутативная операция. Группа:

1.1)+ – ассоциативная операция.

1.2) В G нейтральный элемент .

1.3) симметричный элемент из //

Замечание.Так как − абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый , для каждого вектора существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый , и для уравнение имеет единственное решение , называемое разностью и .

//НАПОМИНАНИЕ По свойству групп: Для уравнения имеют единственное решение: , //

Свойствалинейного пространства.

1) выполняется .

2) выполняется .

3) выполняется .

4) выполняется .

5) .

6) .

7) .

Доказательство.

1) Так как в силу г) имеем . Аналогично, имеем .

2) В силу г) имеем в силу разности векторов .

3) Следует из 2) при .

4) В силу в) имеем в силу разности векторов

5) Если и , то умножая это равенство на симметричный элемент получаем: и . Если и ,то . Т.о., если , то . Обратное утверждение следует из 1).

6) Из .

7) Аналогично. ■

Примеры.

1) Если − поле и , то имеем − векторное пространство, называемое нулевым.

2) − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел. − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.

3) Множество матриц размера образует векторное пространство .

4) Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .

5) Множество непрерывных на функций образует векторное пространство .

6) – n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

2^о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Определение 2.Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Определение 3.Вектора называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство.

1. одновременно неравные нулю, так что Пусть например . - линейная комбинация остальных.

2. Если и – любое, например, линейно зависимы.

3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы одно из отлично от нуля линейно зависимы. ч.т.д.

3^о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если

1. вектора – линейно независимы;

2. для может быть представлен как линейная комбинация этих векторов (т.е. найдутся .) (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости , что и требовалось доказать.

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.

Примеры.

1. Базис в – любое ненулевое число.

2. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом.

3. – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .

4. – см. выше.

4^о. Размерность линейного пространства.

Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если

1. В нем n линейно независимых векторов.

2. векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью и обозначается .

Определение 7.Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из . Если – любой вектор из , то по определению линейного пространства, вектора – линейно зависимы, т.е.

и среди есть хотя бы одно отличное от нуля (из определения линейно зависимых векторов). Очевидно, что (т. к. иначе – линейно зависимы)

, т.е.

– линейная комбинация т. к. – произвольный, то –базис.

Теорема 5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть – базис в . Достаточно показать, что векторов линейно зависимы. Разложим их по базису:

…

где .

Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

Ранг матрицы не более, чем n. Это значит, что базисный минор расположен не более чем в n строках. По теореме о базисном миноре оставшаяся строка представляет собой линейную комбинацию базисных строк. Значит, строки матрицы линейно зависимы, тогда вектора линейно зависимы.

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

НАПОМИНАНИЕТеорема о базисном миноре.

Рассмотрим матрицу , где –поле матрицы размера .

Определение 3.Число называется рангом матрицы , если

1) минор порядка , отличный от нуля.

2) Все миноры –го порядка равны нулю.

Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Минор –го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Теорема 2(теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

ВСЕ, ЧТО НИЖЕ, ПИСАТЬ НЕ НАДО!

5^о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Определение 6.Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при отвечает вектор .

6. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка векторов как пример подпространства. Размерность подпространства. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства, их размерности. Прямая сумма подпространств.

1^о. Определение подпространства и линейной оболочки

Определение 1.Непустое подмножество линейного пространства над полем называется линейным подпространством (или просто подпространством) линейного пространства , если выполняются следующие свойства:

1. , их сумма .

2. , , имеем: .

Лемма 1. Подпространство векторного пространства само является векторным пространством.

Доказательство.

//Повторим определение векторного пространства:

Определение.Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;//

2) Для любых и выполняются равенства:

а) Умножение на не изменяет , т.е. .

б) .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .

НАПОМИНАНИЕ

Абелева (коммутативная) – значит «+» коммутативная операция. Группа:

1.1)+ – ассоциативная операция.

1.2) В G нейтральный элемент .

1.3) симметричный элемент из

Покажем, что – абелева группа относительно сложения. Так как ассоциативность и коммутативность выполняются для любых элементов , то эти свойства выполняются и для . Осталось проверить, что и , его противоположный элемент . Действительно, так как при . Так , и – элемент, противоположный , принадлежит и и является противоположным к . Остальные свойства умножения на скаляр справедливы, так как они справедливы для любых элементов , значит и для L.

Примеры:

1) и подпространства линейного пространства . они называются несобственными подпространствами.

2) – подпространство в пространстве .

3) - многочлены степени не выше n. Подпространство: - многочлены степени не выше k.

Рассмотрим множество векторов пространства .

Определение 2.Линейной оболочкой множества (линейной оболочкой ) будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество элементов вида

где – произвольные элементы .

Обозначение. – линейная оболочка . Множество называется множеством или системой образующих для .

Лемма 2. Любая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства , причем линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим .

Доказательство. То, что – подпространство, следует из того, что для выполняются аксиомы 1^о, 2^о подпространства. Так как любое подпространство, содержащее вектора содержит также их линейные комбинации, то это означает, что линейная оболочка является подмножеством этого линейного подпространства.

Пример. Если рассмотреть , и , , , …, , то .

Лемма 3.

1. Если – подпространство в (размерность) .

2. Если подпространство не совпадает со всем векторным пространством размерности , то .

Доказательство. Методом от противного.

1. Если и независимых векторов в по определению размерности пространства они линейно независимы в , т.е. противоречие.

//НАПОМИНАНИЕ

Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если

1. В нем n линейно независимых векторов.

2. векторов линейно зависимы.//

2. Пусть по теореме (Теорема: Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.) любые векторов образуют базис в . Но так как любые векторов образуют базис в значит любой элемент в может быть представлен как их линейная комбинация и следовательно все элементы в представимы как линейная комбинация векторов из значит и совпадают .

4^о. Сумма и пересечение подпространств

Рассмотрим два подпространства и пространства .

Определение 6.Будем называть суммой подпространств и и обозначать множество всех векторов, которые можно представить в виде , где и .

Лемма 4.Сумма подпространств является подпространством.

Доказательство.Действительно, если есть ; , то , : , . Также, . ■

Если , , то базис , а в – базис . Каждый вектор из есть линейная комбинация , , т.е. есть линейная комбинация этих векторов , . Выбрав из них линейно независимые, получаем базис в .

Определение 7.Назовём пересечением подпространств и и обозначим множество векторов, которые принадлежат одновременно обоим подпространствам.

Лемма 5.Пересечение есть подпространство.

Доказательство.Если , то и и , и и и . ■

Теорема 6.Сумма размерностей произвольных подпространств и конечномерного линейного пространства равна сумме размерности пересения этх подпространств и размерности суммы этих подпространств, т.е. .

Доказательство.Пусть , , , . Выберем в базис . Тогда по теореме (Теорема. Если элементы составляют базис k-мерного подпространства пространства , то этот базис может быть дополнен элементами так, что совокупность , – базис .) его можно дополнить до базиса