Свойства (сложения матриц).

Примеры.

1. (R, +). Операция сложения коммутативна и ассоциативна.

2. (R, -). Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, , .

3. (R, ), где . Такая операция коммутативна, но не ассоциативна. Действительно: .

4. Умножение матриц является ассоциативной, но не коммутативной операцией.

Определение 4. Элемент называется нейтральным относительно алгебраической операции , если

(1)

Определение 5.Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.

Определение 6. Элемент моноида называется симметричным к элементу , если

(2)

Обычно умножение называют мультипликативной операцией, сложение – аддитивной. В случае мультипликативной операции результат операции называют произведением, нейтральный элемент – единицей (обозначают 1), симметричный элемент к – обратным (пишут ). В случае аддитивной операции результат операции называют суммой (x+y), нейтральный – нулём (обозначают 0), симметричный – противоположным (обозначают ).

2°. Группа, свойства группы.

Определение 7.Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называется группой, если

1) – ассоциативная операция.

2) В G нейтральный элемент .

3) симметричный элемент из

Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.

Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если – сложение, то G – аддитивная группа.

Примеры.

1. (N,+) – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.

2. (N, ) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.

3. (Z, +)– аддитивная абелева (коммутативная) группа.

4. (Q, +)– аддитивная абелева (коммутативная) группа.

5. (R, +)– аддитивная абелева (коммутативная) группа.

6. (R, ) – абелева (коммутативная) полугруппа с нейтральным элементом.

7. (R ) – мультипликативная абелева (коммутативная) группа.

8. – множество непрерывны на функций. И пусть . – тогда это абелева группа.

9. Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения.

Свойства группы.

1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

Теорема 1. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство. (от противного). Пусть и − два нейтральных элемента

(по условию нейтральности ) и

(по условию нейтральности )

Одной паре соответствует 1 элемент .■

Теорема 2. Если для есть симметричный элемент, то такой элемент единственен.

Доказательство. Пусть для данного два симметричных элемента и Тогда в силу (1) и (2) имеем:

.■

2) Для уравнения имеют единственное решение:

, . (напоминание: - симметричный элемент к )

Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , т.е. − решение.

Предположи, что есть другое решение – z, то после умножения слева на x – значит найденное решение единственно. Аналогично для другого уравнения.

3°. Кольцо, свойства кольца.

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество K с 2-мя операциями сложения и умножения называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа.

2) умножение на множестве K ассоциативно, т.е.

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!!!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры колец.

1. (Z; +; ), (Q, +, ), (R, +, ) образуют коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.

2. Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом.

3. Множество непрерывных на отрезке функций с операциями + и , определенными следующим образом:

, ,

образует коммутативное кольцо с единицей.

4. Множество V₃ всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов, образует кольцо.

Так как ( ;+) абелева группа, то противоположный элемент . Поэтому в К можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группы единственное решение уравнения .

Свойства кольца.

1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, т.е.

Доказательство.

Аналогично доказывается 2-е равенство.

2) .

Доказательство. Т.к. . Аналогично доказывается, что .

Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, т.е но . Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. Например, множество непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если ,

Аналогично, − множество матриц размера − кольцо с делителями нуля.

3) Если − отличный от нуля элемент из , не являющийся делителем нуля, и

(закон сокращения в кольце). Аналогично,

Доказательство.

Доказательство.

Так же является симметричным к элементу , потому что .

4°. Поле, свойства поля.

Определение 10. Множество , содержащие не менее двух элементов, с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения называется полем и обозначается ( ), если:

1) (P;+) – абелева группа.

2) (P\{0}; ) – абелева группа.

3) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

Т.о., поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.

Примеры полей.

1) (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) − примеры полей.

2) ( , , ) − поле.

Свойства поля.

1) В поле Р нет делителей нуля.

Доказательство. Пусть Пусть , тогда . Умножим на : . С другой стороны,

2) Свойство сокращения на ненулевой элемент: из (уже доказали – 3)свойство для кольца)

3) , уравнение в поле P имеет единственное решение .

Доказательство. При доказываемое свойство – это 2) свойство группы, при − 2) свойство кольца.

2. Понятие многочлена над полем. Множество многочленов как коммутативное кольцо над полем с единицей и без делителей нуля. Делители многочленов, наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида построения наибольшего общего делителя многочленов.

Определение 1. Многочленом от одной переменной с коэффициентами из поля называется бесконечная последовательность , в которой лишь конечное число элементов не равно нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из поля обознается .

Введем операции сложения и умножения многочленов. Пусть . Тогда

, , где .

Очевидно, что и имеют лишь конечное число ненулевых членов, т.е. являются многочленами.

Теорема 1. – коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

Доказательство.

Опр. Непустое множество K с 2-мя операциями сложения и умножения называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа.

Абелева (коммутативная) – значит «+» коммутативная операция. Группа:

1.1)+ – ассоциативная операция.

1.2) В G нейтральный элемент .

1.3) симметричный элемент из

2) умножение на множестве K ассоциативно, т.е.

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

, .

Проверим все эти свойства. – абелева группа – очевидно:

0)Сумма многочленов = многочлен.

1.1) (f+g)+h=f+(g+h)

1.2) Нейтральный (нулевой) элемент e= .

1.3) К симметричный элемент .

2) Проверим ассоциативность умножения. Пусть

Необходимо доказать, что . Имеем:

, где . Тогда

, где ,

т.е. ассоциативность умножения выполняется.

3) Проверим дистрибутивность, т.е. выполнение равенств

Имеем где ;

где .

Аналогично доказывается второе равенство.

4) Проверим коммутативность умножения. Имеем

, где и

, где

силу коммутативности умножения в .

5) Легко проверить, что – единица в , так как .

6) (делители нуля – это, если произведение 2-х не нулевых элементов=0) Покажем, что в нет делителей нуля. Пусть , , , , , , , . Тогда

, где , т.к. не имеет делителей нуля. Следовательно, – кольцо без делителей нуля. ■

4^o. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.

Определение 3. Пусть . Если , то говорят, что делится на или делит , и пишут . Если , то означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

Доказательство. Так как , тогда т.к. .

2) , .

Доказательство. Так как ; так как

. Тогда имеем

3) , .

Доказательство. Аналогично 2)

4) выполняется .

Доказательство. . Тогда

; следовательно, .

5) Если , , то справедливо

6) .

Доказательство. Если справедливо представление .

7) имеем .

8) .

Действительно, ноль представим как .

9) .

Доказательство.

и . Ho .

и .

10) .

Доказательство.

Если имеем .

Если и по свойству 1 имеем (в силу свойства 9) .

Следует из свойства 9.

11) Если , то имеем .

Определение 4. Многочлен называется общим делителем и , если и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов и называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.

Утверждение 2. Если НОД двух многочленов и существует, то он определен с точностью до множителя .

Доказательство. Пусть и – два НОД для и и (по свойству 10) , для и .

Осталось показать, что если НОД умножить на , то вновь полученное – это НОД. Если – общий делитель для и , то – тоже общий делитель, по свойству 7). Если – НОД, т.е. любой другой делитель делит , то − тоже НОД.■

Утверждение 3. Если , , то пары многочленов и имеют одинаковые общие делители.

Доказательство. Пусть – общий делитель и (из ) (по свойству 5) . Аналогично, из делимости и на и делятся на .■

Лемма 4. Если , то – НОД для и , т.е. .

Доказательство следует из того, что – делитель и и любой делитель и делит .

Теорема 3. Для , НОД( ) .

Доказательство. Рассмотрим . Если , то в силу Леммы 4 и условия имеем – НОД( ).

Если , то поделим на с остатком . , где . Если , то теорема доказана в силу леммы 4.

Пусть . Тогда делим на . Если остаток , то доказательство завершаем, если , то делим на и т.д. Так как степени остатков все время уменьшаются, то процесс конечен. Таким образом, имеем следующую последовательность равенств:




	(E)

Здесь .

Из равенств ( ) и утверждения 3 что пары многочленов имеют общие делители, т.е. является общим делителем многочленов и – делитель и .

Если – любой другой делитель и он делитель и – НОД.■

Замечание 1. Алгоритм построения НОД, использованный в теореме 3, называется алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления.

Замечание 2. Если .

Замечание 3. Так как НОД определен с точностью до множителя, то будем считать, что коэффициенты при старшей степени равен 1.

Пример. Если , то .

Замечание 4. При вычислении НОД результаты вычисления можно умножать и делить на элементы из , что влияет лишь на множители.

3. Основная теорема алгебры и следствия из неё (разложимость на множители, единственность разложения и число корней многочлена). Многочлен с действительными коэффициентами. Свойства комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами.

Теорема 8 (ОТА). Всякий многочлен , имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство.Первые попытки доказательства этой теоремы в XVII в. – Роте, Жирар, Декарт, в XVIII в. – Д’Аламбер, Эйлер, Лаплас, Лагранж. Первое строгое доказательство в 1799 г. – К.Гаусс. Доказательство см., например, Курош [8].

Следствие 1. числа справедливо разложение

(4)

где − старший коэффициент, − корни многочлена .

Доказательство. Пусть По теореме 8 корень многочлена ; тогда по теореме Безу справедливо представление где имеет степень и по ОТА имеет корень .

В итоге получаем (4), где появление коэффициента обуславливается тем, что если вместо записать , то после раскрытия скобок получим .■

Следствие 2. Разложение (4) для многочлена является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Пусть имеется и другое разложение:

Тогда имеем равенство:

… = … .

Если бы корень был отличен от всех корней , то после подстановки слева получаем 0, а справа – нет корню соответствует некий корень и наоборот.

Отсюда еще не следует совпадение всех корней двух разложений. Может случиться, что среди корней , есть одинаковые. Пусть − корень кратности , а соответствующий корень − корень кратности . Нужно показать, что .

Пусть . Т.к. − кольцо без делителей нуля, то можно сократить на приходим к равенству, где слева есть множитель , а справа – нет. Как показано выше, это приводит к противоречию ■.

Объединяя одинаковые множители, разложение (4) перепишем в виде:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: