Метод секущих (пропорциональных частей)

Если первая и вторая производные функции f (x) существуют и сохраняют знак на отрезке [α, β], то метод секущих сходится быстрее, чем метод половинного деления. Чтобы получить формулу метода секущих, заменяют функцию f (x) линейной функцией

P(x) = f (α) + ( f (β) – f (α) ),

определенной на отрезке [α, β].

Функция Р(х) на концах отрезка [α, β] принимает значения f (α) и f (β). В качестве начального приближения корня f (x) берут корень уравнения Р(х) = 0. Его значение определяется

х₀ = α – = . (3)

Затем рассматривают тот из отрезков [α, х₀] и [х₀, β], на концах которого функция f (x) принимает значения разных знаков. К выделенному отрезку применяют процесс, описанный выше, и получают следующее приближение корня. Процесс можно оканчивать по выполнению условия

| f (x_k) | < ε,

где ε > 0 – точность окончания итерационного процесса.

Пример 2. Методом секущих вычислить корень уравнения (2) на отрезке [0, 1] с точностью 0,01.

Проверяем условия применимости метода. f (x) есть полином третьей степени (непрерывна) и f (0) · f (1) < 0. Вычисляем первую и вторую производные функции f (x):

f ´(x) = 3x² + 6x, f ´´(x) = 6x + 6

и убеждаемся, что они сохраняют знак на отрезке [0, 1]. Следовательно, для решения уравнения (2) выгодно применять метод секущих. Последовательно применяя формулу (3), получаем:

х₁ = = 0,25; f (x₁) ≈ –0,7969 < 0, | f (x₁)| > 0,01.

x₂ = = 0,4074; f (x₂) ≈ –0,4344 < 0, | f (x₂)| > 0,01.

x₃ = = 0,4824; f (x₃) ≈ –0,1897 < 0, | f (x₃)| > 0,01.

x₄ = = 0,5132; f (x₄) ≈ –0,0749 < 0, | f (x₄)| > 0,01.

x₅ = = 0,525; f (x₅) ≈ –0,0284 < 0, | f (x₅)| > 0,01.

x₆ = = 0,5295; f (x₆) ≈ –0,0106 < 0, | f (x₆)| > 0,01.

Метод секущих имеет простую геометри-

ческую интерпретацию. Функция

f (x) = х³ + 3х² – 1

имеет на отрезке [0, 1] график, показанный

на рис.2. На концах отрезка функция при-

нимает значения разных знаков. Соединяем

точки (0; f (0)), (1; f (1)) прямой и точку

пересечения этой прямой с осью Ох прини-

маем за первое приближение к корню. В

примере х₁ = 0,25. Так как и f (0,25) · f (1) < 0,

то через точки (0,25; f (0,25)), (1; f (1)) про-

водим прямую. Точку пересечения этой пря-

мой с осью Ох принимаем за новое прибли-

жение к корню. В примере х₂ = 0,4074. Этот

процесс продолжаем до тех пор, пока не

выполнится условие окончания счета. Рис.2.

Решение задачи на ЭВМ

В библиотеке программ Mathcad для решения задачи численного решения нелинейных уравнений имеется программа root, в которой реализован метод секущих. Пример работы с такой программой приведен ниже.

Здесь:

f(x) – скалярная функция, определяющая уравнение;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

0, 1 – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Лабораторная работа рассчитана на ознакомление с методами численного нахождения корней нелинейных уравнений. Для этих целей подходит, например, система программирования PASCAL.

Программы на PASCAL’е

Данные программы реализуют методы половинного деления и секущих приближенного вычисления изолированного корня уравнения х³ + 3х² – 1 = 0 с точностью 0,01. Отрезок, на котором ищется корень, задается в интерактивном режиме.

Для нахождения корней других уравнений в описательной части программы вместо левой части уравнения х³ + 3х² – 1 = 0 следует задать левую часть своего уравнения, а точность вычислений меняется корректировкой константы е.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: