Метод половинного деления

Лабораторная работа

ЧИСЛЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ИЗОЛИРОВАННОГО КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Решение уравнений – алгебраических или трансцендентных – представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает во многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и других областях.

Пусть дано уравнение

f (x) = 0. (1)

Всякое число х*, обращающее функцию f (x) в нуль, т.е. такое, при котором f (х*) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f (x).

Задача численного нахождения действительных корней уравнения (1) обычно состоит в приближенном нахождении корней, т.е. нахождении достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которой содержится одно значение корня и, далее, вычислении корней с заданной степенью точности.

Пусть

1. Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка;
2. Значения f (x) на концах отрезка имеют разные знаки (f (a) * f (b) < 0).

3. Первая и вторая производные f ' (x) и f '' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f (x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Задача нахождения корня уравнения f (x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

Пример 1. Отделить корни уравнения:

x³ – 6x + 2 = 0 (2)

Составим приблизительную схему:

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f (x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x) и отметить точки пересечения f (x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

Пусть корень уравнения (1) изолирован на отрезке [a, b]. Итерационный процесс уточнении начального приближения х₀ к точному решению состоит в последовательном получении последующего приближение из предыдущего (предыдущих). Каждый такой шаг называется итерацией. Применение того или иного метода зависит от имеющегося начального приближения х₀ к корню, существования и гладкости производных функции f (x). В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_n. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

В итерационных методах важно выбрать критерий окончания счета. Если функция f (x) в рассматриваемой области изменяется медленно, т.е. производная по абсолютной величине меньше единицы, то итерационный процесс следует оканчивать по выполнению условия

| x_k+1 – x_k | < ε,

где x_k , x_k+1 – последовательные приближения к корню, ε > 0 – заданная точность окончания итерационного процесса. Если же функция изменяется быстро, т.е.

| f ´ (x) | ≥ 1, то итерационный процесс следует оканчивать по выполнению условия

| f (x_k) | < ε.

Метод половинного деления

Этот метод является одним из простейших итерационных методов вычисления вещественного корня уравнения (1) на отрезке [α, β]. Его применяют, когда f (x) непрерывна на [α, β] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, т.е.

f (α) · f (β) < 0.

Вычислительная схема метода. Отрезок [α, β] делят пополам и если f ≠ 0, то выбирают ту из половин , , на концах которой функция f (x) принимает значения разных знаков (корень находится в ней). Полученный отрезок опять делят пополам и повторяют описанные действия до тех пор, пока не получат корень с заданной точностью итерационного процесса. Процесс оканчивается по выполнению условия

| x_k+1 – x_k | < ε.

Число итераций k в методе половинного деления определяется по формуле

k ≈ .

Пример 1. Методом половинного деления вычислить корень уравнения

х³ + 3х² – 1 = 0 (2)

с точностью 0,01 на отрезке [0, 1].

Проверяем условия применимости метода. Функция f (x) является полиномом третьей степени (непрерывна) и f (0) · f (1) < 0.

Вычисляем последовательно приближения к корню и проверяем их по точности:

Примем за уточненное значения корня величину

х* = = 0,53515625.

f

Рис.1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: