Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой

Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатных системах. Одна и та же точка в разных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, окружность, парабола, прямая) в разных системах координат задается различными уравнениями.

Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: О, i, j и О', i', j' (рис. 41).

Первую систему с началом в точке О и базисными векторами i и j условимся называть старой, вторую — с началом в точке О' и базисными векторами i' и j' — новой.

Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка О' в старой системе имеет координаты (a;b), a вектор i' образует с вектором i угол α. Угол α отсчитываем в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную точку М. Обозначим ее координаты в старой системе через (х;у), в новой — через (х';у'). Наша задача — установить зависимость между старыми и новыми координатами точки М.

Соединим попарно точки О и О', О' и М, О и М. По правилу треугольника получаем

OM^> = OO'^> + O'M^>. (1)

Разложим векторы OM^> и OO'^> по базисным векторам i и j, а вектор O'M^> по базисным векторам i' и j' :

OM^> = xi + yj, OO'^>= ai + bj , O'M^> = x'i '+ y'j'

Теперь равенство (1) можно записать так:

xi + yj = (ai + bj) + ( x'i '+ y'j' ). (2)

Новые базисные векторы i' и j' раскладываются по старым базисным векторам i и j следующим образом:

i' = cos α i + sin α j,

j' = cos (^π/₂ + α) i + sin ( ^π/₂ + α) j = — sin α i + cos α j.

Подставив найденные выражения для i' и j' в формулу (2), получим векторное равенство

xi + yj = ai + bj+ х'(cos α i + sin α j) + у' (— sin α i + cos α j)

равносильное двум числовым равенствам:

х = а + х'cos α — у' sin α, у = b + х' sin α + у' cos α

(3)

Формулы (3) дают искомые выражения для старых координат х и у точки через ее новые координаты х' и у'. Для того чтобы найти выражения для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнении (3) относительно неизвестных х' и у'.

Итак, координаты точек при переносе начала координат в точку (а; b) и повороте осей на угол α преобразуются по формулам (3).

Если изменяется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах (3) α = 0, получаем

х = а + х' у = b + у'

(4)

Эти формулы кратко называют формулами переносa.

Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах (3) а = b = 0, получаем

х = х'cos α — у' sin α, у = х' sin α + у' cos α

(5)

Формулы (5) называют формулами поворота.

Задача 1. Пусть координаты нового начала в старой системе (2; 3), а координаты точки А в старой системе (4; —1). Найти координаты точки А в новой системе, если направления осей остаются прежними.

По формулам (4) имеем

Ответ. A (2; —4)

Задача 2. Пусть координаты точки Р в старой системе (—2; 1), а в новой системе, направления осей которой те же самые, координаты этой точки (5; 3). Найти координаты нового начала в старой системе.

А По формулам (4) получаем

— 2 = а + 51 = b + 3

откуда а = — 7, b = — 2.

Ответ. (—7; —2).

Задача 3.Координаты точки А в новой системе (4; 2). Найти координаты этой точки в старой системе, если начало координат осталось прежним, а оси координат старой системы повернуты на угол α = 45°.

По формулам (5) находим

Задача 4.Координаты точки A в старой системе (2 √3 ; — √3 ). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат старой системы перенесено в точку (—1;—2), а оси повернуты на угол α = 30°.

По формулам (3) имеем

Решив эту систему уравнений относительно х' и у', найдем: х' = 4, у' = —2.

Ответ. A (4; —2).

Задача 5. Дано уравнение прямой у = 2х — 6. Найти уравнение той же прямой в новой системе координат, которая получена из старой системы поворотом осей на угол α = 45°.

Формулы поворота в данном случае имеют вид

Заменив в уравнении прямой у = 2х — 6 старые переменные х и у новыми, получим уравнение

^√2/₂ ( x' + y' ) = 2•^√2/₂ ( x' — y' ) — 6 ,

которое после упрощений принимает вид y' = ^x'/₃— 2√2

У этого термина существуют и другие значения, см. Цепи_Маркова#Переходная матрица и однородные цепи.

Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

Определение. Матрица

-ый столбец которой составлен из координат вектора в базисе , называется матрицей перехода от базиса к . Имеем .

Лемма. Пусть -- базис, а и -- матрицы размера над полем , причем . Тогда .

Теорема. Матрица перехода от базиса к невырождена.

Для любого базиса и любой невырожденной квадратной матрицы порядка существует и при том единственный базис с матрицей перехода , т.е. .

Теорема. Если -- матрица перехода от базиса к , то для любого вектора справедливо равенство , где и -- столбцы координат вектора в базисах и соответственно, т.е. .

Определение. Биекция линейного пространства над полем на линейное пространство над полем называется изоморфизмом линейных пространств, если для любых векторов и .

Следствие. Справедливы равенства , и . Если система линейна независима, то система тоже линейна независима. Отображение -- изоморфизм.

Определение. Два линейных пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм одного пространства на другое.

Теорема. Два конечномерных пространства над полем изоморфны тогда и только тогда, когда .

Следствие. Любое -мерное векторное пространство изоморфно . Отображение определено так: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: