СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1.Скалярным произведением векторов и называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается или . Итак,
.
Свойства скалярного произведения двух векторов.
1. (коммутативность);
2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);
3. ;
4. (линейность);
5. (линейность);
6. ;
7. ³ 0, и = 0 Û = (положительная определенность).
8. если , то ;
9. если , то либо хотя бы один из векторов и равен нулю, либо и ортогональны.
Так как направление нуль-вектора произвольно, то девятое свойство можно переформулировать как необходимое и достаточное условие ортогональности векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Из определения скалярного произведения и свойств косинуса непосредственно вытекает неравенство Коши-Буняковского. Для любых векторов и имеем
.
При этом, если 0, то тогда и только тогда, когда , где .
3. Механический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если материальная точка под воздействием силы перемещается на вектор , то совершаемая этой силой работа равна скалярному произведению на :
.
4. Из свойств скалярного произведения вытекает, что линейные комбинации векторов можно перемножать как многочлены. Возьмем в пространстве векторов базис . Тогда для векторов и имеем
.
Здесь - метрические коэффициенты. Составим из метрических коэффициентов матрицу
Матрица Гназывается матрицей Грамаскалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления
.
Свойства матрицы Грама.
10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.
20.Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.
30. Для матрицы Грама и любого n-мерногостолбца х выполняется условие х Т×Г×х > 0.
Равенства
и =
Позволяют по координатам векторов и метрическим коэффициентам базиса находить длины векторов и углы между ними.
Базис е = (е1, е2, ... , еn ) (на прямой, на плоскости или в пространстве называется ортонормированным, если
Длины векторов ортонормированного базиса равны единице:
Матрица Грама для ортонормированного базиса имеет вид
.
Ортонормированный базис в пространстве V2 обычно обозначается , в пространстве V3 - .
5. Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы
, .
В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат.
Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе.
Вычисление угла между векторами в ортонормированном базисе
, откуда:
.
Вычисление координат орта вектора в ортонормированном базисе
Вычисление ортогональной проекции вектора на направление в ортонормированном базисе
.
Замечание.Если , то . Аналогично, . Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе являются его ортогональными проекциями на направления, заданные соответствующими ортами.
Косинусы углов, которые отличный от нуля вектор образует с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами.
.
Направляющие косинусы удовлетворяют соотношению
.
Из полученных выражений для направляющих косинусов видно, что они совпадают с координатами орта вектора.
.
Если A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) , то
½½= .
Обозначим r(A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A, B) вычисляется по той же формуле. Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:
1. r(A, B) = r(B, A);
2. r(A, B) + r(B, C) ³ r(A, C) (неравенство треугольника);
3. r(A, B) ³ 0, и r(A, B) = 0 Û A = B.
6. Если задан некоторый вектор , то ортогональной составляющей произвольного вектора вдоль вектора называется такой вектор , который коллинеарен , причем разность перпендикулярна вектору .
Аналогично,ортогональной составляющейвектора в плоскости называется вектор , компланарный плоскости , причем разность перпендикулярна этой плоскости.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|