Какое из нескольких возможных событий появилось?

Пусть имеется полная группа несовместных событий:

А₁, A₂,,…, А_k

с вероятностями

p₁,р₂,, …, р_k.

Так как события несовместны и образуют полную группу, то

Разделим весь интервал от 0 до 1 на k участков длиной p₁,р₂,, …, р_k .(рис. 8.2). Если случайное число R, выданное стандартным механизмом, попало, например, на участок p₃,это означает, что появилось событие A₃.

3. Какое значение примет случайная величина?

Пусть нам требуется «разыграть» значение случайной величины X, имеющей известный закон распределения. Случай, когда величина X дискретна (т. е. имеет отдельные значения x₁,x₂,...,x_k с вероятностями p₁,p₂,...,p_k) рассматривать не будем, так как он сводится к предыдущему пункту 2. Действительно, если обозначить A_i событие, состоящее в том, что величина X приняла значение x_i,то розыгрыш значения случайной величины X сводится к решению вопроса: какое из событий А₁, A₂,,…, А_k появилось?

Рассмотрим случай, когда случайная величина Х непрерывна и имеет заданную непрерывную функцию распределения F(x) (рис. 8.3).

Докажем следующее утверждение: если взять на оси ординат случайное число R (от 0 до 1) и найти то значение X, при котором F(X) = R (см. стрелки на рис. 8.3), то полученная случайная величина X будет иметь функцию распределения F(x).

Действительно, возьмем случайную величину X и найдем ее функцию распределения, т. е. вероятность

Р(Х<х).

Из рисунка видно, что для того чтобы выполнялось неравенство X < х, величина R должна принять значение, меньшее, чем F(x):

Р(X<x) = P(R<F(x)).

Но случайное число R имеет постоянную плотность распределения f(r), равную 1 на отрезке (0, 1); значит,

что и требовалось доказать.

Таким образом, розыгрыш значения случайной величины X с заданной функцией распределения F(x) сводится к следующей процедуре.

Получить случайное число R от 0 до 1 и в качестве значения X взять:

X=F⁻¹ (R),

где F⁻¹ — функция, обратная по отношению к F.

4. Какую совокупность значений примет система случайных величин?

Пусть имеется система случайных величин: с совместной плотностью распределения .

Если случайные величины независимы, то

и розыгрыш совокупности значений системы сводится к тому, чтобы разыграть каждую из них в отдельности, т. е. организовать п единичных жребиев типа, описанного в п. 3.

Если случайные величины зависимы, то

,

где каждая последующая плотность распределения берется условная, при условии, что предыдущие случайные величины приняли определенные значения. При розыгрыше последовательности значений случайных величин получается сначала значение х₁ случайной величины Х₁;это значение берется в качестве аргумента в условной плотности f(x₂/x₁); разыгрывается значение х₂ случайной величины Х₂, оба значения х₁, х₂ берутся в качестве аргументов в условной плотности f(x₃/x₁, х₂) и т. д.

Рассмотрим несколько примеров на организацию единичного жребия.

Пример 1. Летательный аппарат, совершающий полет над территорией противника, после стрельбы по нему может оказаться в одном из следующих состояний:

А₁ — невредим, продолжает полет;

А₂ — поврежден, продолжает полет;

А₃ —совершил вынужденную посадку;

А₄ — сбит.

Вероятности этих четырех событий заданы: р₁ = Р(А₁) = 0,4; р₂ = Р(А₂) = 0,1;р₃ = Р(А₃) = 0,15; р₄ = Р(А₄) = 0,35.

Построить процедуру единичного жребия для розыгрыша результата обстрела.

Решение. Делим участок (0, 1) на четыре части, как показано на рисунке.

При попадании случайного числа Rна участок от 0 до 0,4 считать, что произошло событие А₁, на участок от 0,4 до 0,5 — событие А₂и т. д.

Пример 2. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью:

Построить процедуру единичного жребия для получения значения X.

Решение. По заданной плотности f(x)находим функцию распределения:

График функции F(x)дан на рисунке.

Графически значение случайной величины Xможно разыграть так: взять случайное число от 0 до 1 на оси ординат и найти соответствующее ему значение абсциссы X (см. стрелки на рисунке). Это же можно сделать не графически, а расчетом, если написать:

и решить это уравнение относительно X (т. е. найти обратную по отношению к Fфункцию). Имеем:

; ,

откуда

Формулу (2.4) можно упростить; вспомним, что если R—случайное число от 0 до 1, то (1 — R) — также случайное число от 0 до 1; поэтому можно взять

Таким образом, процедура розыгрыша сводится к следующему: взять случайное число от 0 до 1, прологарифмировать его при натуральном основании, изменить знак и разделить на λ.

Пример 3. Построить процедуру розыгрыша значения случайной величины X, плотность распределения которой

при

Решение. Находим функцию распределения:

График функции распределения имеет вид:

Там же показана процедура розыгрыша значения случайной величины X. Аналитически это выражается так:

откуда обратная функция

Х =агс sin (2R- 1).

Таким образом, для розыгрыша значения случайной величины Xнужно: взять случайное число от 0 до 1, удвоить его, вычесть единицу и от результата взять арксинус.

123

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: