Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден ненулевой минор -го порядка . Рассмотрим все миноры -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

9-ый вопрос

В линейной алгебре матрица считается матрицей ступенчатого вида по строкам если

· все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

· ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам:

Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица , полученная из исходной матрицы конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной. Это обозначается .

10-ый вопрос (1-ая часть)

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. detA ≠ 0 .

11-ый вопрос

(союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Где:

— присоединённая(союзная, взаимная) матрица; — алгебраические дополнения исходной матрицы; — элементы исходной матрицы.

Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрицаАневырожденная.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную A , т. е. A A AA E. По свойству 10 определителей имеем D(A A) = D(A )D(А) D(E) = 1 и, следовательно, D(А) 0.

Достаточность. Пусть D(А) 0. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной. Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А:

Легко показать, что

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A , то произведения A AиAA равны

единичной матрицеE n-го порядка: A A AA E.

12-ый вопрос

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

]Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

13-ый вопрос

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:

· если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

· если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

14-ый вопрос

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) влинейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Векторная форма записи

Система уравнений может быть записана в векторном виде:

A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_n =B

Матричная форма записи

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместность см выше

15-ый вопрос

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Далее не знаю----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16-ый вопрос

17-ый вопрос

18-ый вопрос

Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице размеров базисный минор расположен в первых строках и первых столбцах. Рассмотрим определитель

который получен приписыванием к базисному минору матрицы соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых и этот определитель равен нулю. Если или , то определитель содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же и , то определитель равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем