С помощью матрицы алгебраических дополнений

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример. 9. Симметрическая матрица:m=n и a_ij=a_ji(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательноA'=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=jимеем a_ii=-a_ii)

Пример.

Ясно,A'=-A

Матрицы одинакового размера называют одинаковыми ,если попарно равны их соответствующие элементы.

Пусть и — матрицы одинаковых размеров . Матрица тех же размеров называется суммой матриц и , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц и : . Сумма матриц обозначается . Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:

Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, что и матрица , каждый элемент которой равен произведению числа на соответствующий элемент матрицы

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

Транспонированная матрица

С каждой матрицей размера связана матрица размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так .

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица (тех же размеров, что и ): ;

4. существует матрица , противоположная матрице ;

5. ;

6. ;

Ой вопрос

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Свойства умножения матриц:

1.ассоциативность (AB)C = A(BC); 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

3-ий вопрос

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Теорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная. Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В0. Тогда, согласно определению 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB0= E и BA = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB0) = (BA)В0= EB0= B0, т.е.матрицы B и B0 совпадают. I

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. detA ≠ 0 .

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

С помощью матрицы алгебраических дополнений

— транспонированная матрица алгебраических дополнений

Ый вопрос

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителемсостоит в следующем.;

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

КРАМЕРА ПРАВИЛО :если определитель Dквадратной системы линейных уравнений

не равен нулю, то эта система имеет единственное решение и это решение находится по формулам

Здесь - определитель, получаемый из Dзаменой k-то столба на столбец свободных членов.

5-ый вопрос Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю.

Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Вторая часть 6-ого вопроса (Следствие 12.1. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.) Н е о б х о д им о с т ь. Если квадратная матрица A невырождена, то ее ранг равен ее порядку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме 12.5 о базисном миноре они линейно независимы. До с т а т о ч н о с т ь. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы A являются линейно

независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейными комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы A, согласно теореме12.4, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы A являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным минором и, следовательно, согласно определению 12.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица A невырождена.

7-ой вопрос

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями строк называют:

1 перестановка местами любых двух строк матрицы;

2 умножение любой строки матрицы на константу , ;

3 прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

8-ой вопрос

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: