Сделай Сам Свою Работу на 5

Дифференциальные уравнения 2-го порядка





Оглавление

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 4

1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. 4

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 6

1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными 7

1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 9

1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным. 11

1.6. Обобщенное однородное уравнение. 14

1.7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 15

1.8. Уравнение Бернулли. 18

1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. 20

1.10. Интегрирующий множитель. 23

2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. 24

2.1. Методы понижения порядка уравнения. 24

2.2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. 28

2.3. Определитель Вронского. 30

2.4. Структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка. 32

2.5. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 33

2.6. Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка. 35

2.7. Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.. 38

2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 43

3. Линейные уравнения высших порядков. 46



3.1. Однородное уравнение. 46

3.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. 47

4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 49

4.1. Нормальные системы.. 49

4.2. Метод исключения. 51

4.3. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОС ДУ) 52

4.4. ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами. 56

4.5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ) 59

4.6. Метод вариации произвольных постоянных. 61


1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные понятия

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

, (1.1)

где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальные» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин «обыкновенные» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.



Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые её производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка. Например,

а) – уравнение первого порядка;

б) – уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в) – уравнение второго порядка;

г) – уравнение первого порядка, образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: .

Определение 2. Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество. Например, уравнение 3-го порядка

имеет решение .

Найти тем или иным приёмом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причём число констант совпадаёт с порядком уравнения: Общее решение может быть явно не разрешено относительно y(x): В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1). Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение:

,

причём второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , может быть заменена новой произвольной постоянной .



Придавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определённую функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных констант, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при :

. (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причём общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1-го порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка ( ) имеет вид: или (если его удаётся разрешить относительно производной) . Общее решение или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом можно найти частное решение, т.е. задача Коши будет решена. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива следующая теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема. Если в уравнении функция и её частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY и в этой области задана точка , то существует (и притом единственное) решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задаёт на плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым.

Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .

1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(3.1)

или уравнение вида

. (3.2)

Чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделёнными переменными, необходимо множители, содержащие переменную x перенести в одну сторону уравнения, а множители, содержащие переменную y, – в другую, а именно:

.

Остается проверить, не потеряны ли решения при делении на выражения, зависящие от переменных. Для этого необходимо решить уравнение . Если оно имеет вещественное решение , то тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделёнными переменными делением на произведение :

,

что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):

. (3.3)

Функции (3.3), определяющие интегральные кривые, будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Разделяем переменные:

; .

Интегрируя, получаем

.

Из уравнений и находим , , . Непосредственной подстановкой этих функций в исходное уравнение убеждаемся, что эти решения – частные решения.

1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция – однородная нулевого измерения.

Решение.

, ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция – однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство.Первое утверждение теоремы очевидно, так как . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции

,

что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение

, (4.1)

где M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что уравнение (4.1) всегда может быть приведено к виду

, (4.2)

хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение (4.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле , где – новая искомая функция. Выполнив эту замену в уравнении (4.2), получим:

(4.3)

или

,

т.е.

.

Интегрируя последнее равенство, получаем общий интеграл уравнения (4.3) относительно функции

,

который после повторной замены даёт общий интеграл исходного уравнения (4.2). Кроме того, если – корни уравнения , то функции (где ) – решения однородного уравнения (4.2). Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются функции, определяющие на плоскости полупрямые:

.

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше замены использовать замену .

1.5. Дифференциальные уравнения,
приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнение вида

. (5.1)

Если , то уравнение (5.1) с помощью замены , где и – новые переменные, а и – некоторые постоянные числа, определяемые из системы

,

приводится к однородному уравнению

.

Если , то уравнение (5.1) принимает вид:

.

Сделав замену , получим уравнение, не содержащее независимую переменную.

Пример 1.Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки:

а) (2; 2); б) .

Решение. Положим . Тогда

и

.

Сокращая на и собирая члены при dx иdz, получим:

.

Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим:

;

или

, где .

Заменяя z на , получим общий интеграл исходного уравнения в виде

или, что то же самое,

. (5.2)

Равенство (5.2) определяет семейство окружностей

.

Центры указанных окружностей лежат на прямой и в начале координат касаются прямой . Функция , в свою очередь, является частным решением заданного дифференциального уравнения.

Определим, какие из найденных окружностей, удовлетворяют начальным условиям, т.е. решим задачи Коши:

а) полагая в общем интеграле , , находим ,поэтому искомой кривой является окружность ;

б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку . Зато полупрямая проходит через эту точку, а значит, соответствующая функция и даёт искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.Исходное уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель в данном случае не равен нулю, поэтому сначала рассмотрим систему .

Решая указанную систему, получим, что .

Выполняя в заданном уравнении замену , приходим к однородному уравнению

.

Интегрируя последнее уравнение после подстановки , находим . Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем .

1.6. Обобщенное однородное уравнение

Определение. Уравнение называется обобщённым однородным, если удаётся подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y,dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, yk-го измерения,dx – нулевого измерения и dy – ( )-го измерения.

Например, таковым будет уравнение

. (6.1)

Действительно, при сделанном предположении относительно измерений x, y,dx и dy члены левой части и dy будут иметь соответственно измерения (–2), (2k) и(k–1). Приравнивая эти величины, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k:

.

Это условие выполняется при (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение (–2)). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщённым однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем уравнение (6.1) описанным методом. Так как , то , а следовательно уравнение (6.1) примет вид:

.

Решая полученное уравнение путем разделения переменных, находим , откуда . Последнее равенство определяет общее решение уравнения (6.1).

1.7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение. Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и её производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где и – заданные непрерывные функции от x. Если функция , то уравнение (7.1) имеет вид:

(7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае ( ≢0) оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

;

;

. (7.3)

Выражение (7.3) определяет общее решение уравнения (7.2).

Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), воспользуемся так называемым методом вариации произвольной постоянной, который состоит в следующем: постараемся подобрать функцию так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда производная функции (7.3) примет вид:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), получим:

или

.

Отсюда

,

где – произвольная постоянная.

В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет иметь вид:

. (7.4)

Заметим, что первое слагаемое в выражении (7.4) представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое – частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Сформулируем замеченный факт в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда

.

Подставим найденную производную в исходное уравнение (7.1), получим:

.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u(x) как общий множитель за скобку:

. (7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:

. (7.6)

Решим уравнение (7.6), полагая произвольную постоянную C равной нулю:

, .

Найденную функцию v(x) подставим в уравнение (7.5), откуда получим:

.

Решая его, приходим к:

.

Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) имеет вид:

.

1.8. Уравнение Бернулли

Определение.Дифференциальное уравнение вида

,

где , , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим:

. (8.1)

Введём новую функцию . Тогда

.

Умножим обе части уравнения (8.1) на и перейдем к функции z(x):

,

т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем разделе 1.7. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путём подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в 1.7. Рассмотрим применение этого метода для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения:

. (8.2)

Решение.Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причём .

Будем искать решение уравнения в виде . Тогда

.

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы , откуда . Тогда для функции u(x) получим уравнение:

,

или

.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решая его, получим:

,

,

.

Следовательно, общее решение уравнения (8.2) имеет вид:

.

1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Если в уравнении

(9.1)

левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде , следовательно, его общий интеграл есть .

Например, уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде . А значит,общий интеграл задаётся равенством .

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

. (9.2)

Доказательство.Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2).

Покажем, что может быть найдена такая функция , что и .

Действительно, поскольку , то

, (9.3)

где – произвольная дифференцируемая функция.

Продифференцируем равенство (9.3) по y:

.

Но , следовательно,

.

Положим , тогда .

Итак, построена функция

,

для которой

, а .

Пример. Найти общий интеграл уравнения:

.

Решение.В данном случае

Тогда

.

Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функция , частные производные которой соответственно по x и y равны и :

.

Проинтегрируем первое из двух соотношений по x:

,

.

Теперь продифференцируем по y и приравняем полученное в результате выражение частной производной :

.

Отсюда и . Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является:

.

1.10. Интегрирующий множитель

Определение. Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция – такая, что после умножения на неё обеих частей уравнения получающееся дифференциальное уравнение

становится уравнением в полных дифференциалах, т.е. , то функция называется интегрирующим множителем исходного уравнения.

В случае, когда уравнение является уравнением в полных дифференциалах, полагают .

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µесть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то имеем тождество:

.

Из этого тождества следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет уравнению с частными производными 1-го порядка:

. (10.1)

Если заранее известно, что , где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µот независимой переменной ω:

, (10.2)

где

,

т.е. указанная дробь является функцией только переменной ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, .

В частности, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x ( ) или только от y ( ), если выполнены соответственно следующие условия:

,

или

, .

Дифференциальные уравнения 2-го порядка

2.1. Методы понижения порядка уравнения

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

. (1.1)

Общим решением уравнения (1.1) является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и : (или – общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием совпадают на пересечении интервалов, на которых определены уравнения.

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удаётся далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удаётся понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной . Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

, (1.2)

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.