Сложение оптических систем

Эффективность метода Гаусса наиболее ярко проявляется при анализе оптических систем состоящих из более чем одной преломляющей поверхности. Каждая такая поверхность является элементом оптической системы. Например, линза представляет собой систему двух преломляющих поверхностей. Рассмотрим систему из двух элементов. Каждый из них можно заменить системой главных плоскостей H1, H1' и H2, H2', относительно которых определены точки переднего и заднего фокусов F1, F1' и F2, F2' с соответствующими фокусными расстояниями f1, f1' и f2, f2'. Расположение элементов относительно друг друга будем характеризовать расстоянием Δ между задней главной плоскостью H1' первого элемента и передней главной плоскостью H2 второго элемента. Показатель среды перед передней главной плоскостью первого элемента n₁, показатель преломления среды между элементами – n, показатель преломления среды после задней главной плоскости второго элемента – n₂.

Получившаяся система, в свою очередь, будет характеризоваться своей системой главных плоскостей H, H', положением фокусов F, F'. Требуется найти оптическую силу получившейся системы, а также положение ее главных плоскостей и фокусов относительно главных плоскостей составляющих ее элементов.

Рис. 11. Построение изображения в системе из двух элементов, отстоящих на расстоянии d друг от друга по главной оптической оси, показатель преломления между элементами n

Свет из точки А главной поверхности H сложной системы должен попасть в точку A' задней поверхности H'. В эту точку он должен попадать, выходя из А в любом направлении к H'. Выберем одно из них, удобное для решения нашей задачи. Пусть луч 1из А проходит через передний фокус сложной системы, тогда по второму правилу идеальной оптической системы на выходе из второго элемента луч света 3должен идти параллельно главной оптической оси. Но из второго элемента луч света будет выходить параллельно оптической оси, только тогда, если на этот элемент луч света 2попадает, пройдя через передний фокус этого элемента (согласно второму правилу).

Из рисунка видно, что для подобных прямоугольных треугольников с общей вершиной в F справедливо равенство

= (16)

Из подобия прямоугольных треугольников с общей вершиной в F2 следует равенство

= (17)

Из равенства левых частей в (16) и (17) следует

f = f₂ (18)

С другой стороны для первого элемента точка F является источником, а точка F2 – ее изображением. Тогда для этого элемента справедлива формула Ньютона (5), которая для используемых в рисунке обозначений записывается следующим образом: x₁×D= f₁ × f¢₁. Из этого равенства получаем выражение

x₁ = (19)

где Δ = d + f2 – f1'. После подстановки (19) в (18) находим переднее фокусное расстояние сложной системы

f = . (20)

По определению фокусное расстояние сложной системы определяется через переднее фокусное расстояние формулой:

Ф = = = =d + + (21)

С учетом выражений для оптической силы первого и второго элементов системы: Ф₁ = и Ф₂ = , получаем формулу для оптической силы системы из двух элементов:

Ф = - Ф₁ Ф₂ + Ф₁ + Ф₂. (22)

Найдем положение Х передней главной плоскости Н сложной системы относительно передней главной плоскости первого элемента: –X = f – x₁ – f₁. После подстановки (19) и (20), находим искомое выражение

X = . (23)

Чтобы получить выражения для фокусного расстояния заднего фокуса сложной системы, а также для положения Х' ее задней главной плоскости относительно задней плоскости второго элемента можно воспользоваться принципом взаимности, т.е. предположить, что источник находится в точке A' и повторить всю цепочку рассуждений. Тогда можно легко найти соответствующие выражения:

f¢ = - (24)

X¢ = - . (25)

Таким образом, система из двух элементов может быть заменена одним эквивалентным ей элементом с характеристиками, определяемыми уравнениями (20), (22)–(25). Если система состоит из трех элементов, то сначала два соседних заменяются одним эквивалентным элементом с характеристиками (20), (22)–(25), а затем производят сложение эквивалентного элемента с третьим. Как видим, в качестве элемента оптической системы может выступать как одна преломляющая поверхность, так и система таких поверхностей, например, линза. Поэтому все результаты сложения элементов оптической системы, полученные выше, будут справедливы не только для двух преломляющих поверхностей, но и для двух линз, или двух систем, состоящих из линз.

Таким образом, для системы, представляющей собой сумму двух элементов уравнение связи (9) будет иметь следующий вид:

- = Ф, (26)

где оптическая сила Φ определяется выражением (22).

Линзы

Линза представляет собой прозрачную однородную среду ограниченную двумя преломляющими поверхностями. Преломляющие поверхности могут иметь сферическую форму или плоскую (в последнее время используют и несферические поверхности). Как линзу можно рассматривать каплю дождя, стеклянный шар, стеклянный аквариум, заполненный водой и т.п.

Все виды линз делят на собирающие и рассеивающие. Если параллельные лучи после прохождения линзы сходятся в одной точке, то такая линза называется собирающей или положительной. Если же параллельные лучи после прохождения линзы расходятся, то такие линзы называют рассеивающие или отрицательной.

Рис. 12. а) собирающая двояковыпуклая линза, параллельные лучи сходятся в заднем фокусе, находящемся за линзой; б) рассеивающая двояковогнутая линза, параллельные лучи после линзы расходятся так, как будто они вышли из фокуса линзы, расположенного перед ней. Видно, что фокус находится на пересечении продолжений лучей

Все линзы, у которых толщина в середине больше чем толщина по краям, будут собирающими. Если же у линзы толщина увеличивается от середины к краям, то такая линза будет рассеивающей.

Процедура построения изображения в линзе зависит от того, можно ли ее считать тонкой или нет. Если каждая из сферических поверхностей, образующих линзу, имеет радиус много больший, чем толщина d в середине линзы, то такую линзу можно считать тонкой.

Тонкая линза

Для тонкой линзы можно считать d = 0. Тогда положения главных плоскостей линзы Х = Х' = 0 совпадают с ее центром (см (23),(25)). Оптическая сила линзы в этом случае представляет собой сумму оптических сил ее преломляющих поверхностей

Ф = + , а уравнение связи (26) для тонкой линзы можно записать следующим образом:

- = + , (27)

где n₁ – показатель преломления среды перед передней поверхностью линзы, n₂ – показатель преломления среды после задней поверхности линзы, n – показатель преломления материла, из которого изготовлена линза. Если с обеих сторон линзы среда одна и та же n₁ = n₂ то (27) упрощается

- = . (28)

Из (28) следует, что, если a = ∞, то заднее фокусное расстояние f¢ = a¢ = , если же a' = ∞, то переднее фокусное расстояние -f = a¢ = . То есть у тонкой линзы в однородной среде переднее и заднее фокусные расстояния равны.

Из (28) можно видеть, что для стеклянных собирающих линз в воздухе Φ > 0. Действительно, например, для двояковыпуклой линзы по правилу знаков R1 > 0, а R2 < 0, поэтому выражения в обеих скобках в (28) больше нуля. Поэтому собирающие линзы называют еще положительными.

Рис. 13. Примеры линз: а) собирающая линза (двояковыпуклая); б) рассеивающая линза

(двояковогнутая)

У рассеивающих линз Φ < 0, поэтому их еще называют отрицательными.

Например, для двояковыпуклой линзы по правилу знаков R1 < 0, а R2 > 0, поэтому выражение во второй скобке в (28) имеет отрицательный знак.

Часто, для тонких линз уравнение (28) записывают в следующем виде

+ = Ф.

Это уравнение называют уравнением тонкой линзы, здесь Ф = 1/f . Напомним, что а – расстояние от линзы до предмета, а а' – расстояние от линзы до изображения. Эти расстояния отсчитываются от центральной части линзы с учетом правила знаков: расстояние, отсчитываемое против хода, луча берется со знаком «–». Можно видеть, в случае собирающей линзы – Ф > 0, поэтому равенство выполняется при всех значениях a'>0, а также при a' <0, если |a'| > |a|. То есть изображение собирающей линзы может находиться и за линзой по ходу лучей, и перед ней (когда a' <0) – с той же стороны, что и предмет.

В случае рассеивающей линзы Ф < 0 и равенство удовлетворяется, только если a'<0, при этом |a'| < |a|. То есть в рассеивающей линзе изображение всегда находится перед линзой с той же стороны, что и предмет, но ближе него к линзе.

При построении изображения в тонкой линзе используются правила преобразования лучей в оптической системе, а также еще одно правило, что луч, проходящий через центр линзы, не меняет своего направления. Чтобы определить положение изображения точки, из этой точки проводят удобные для построения лучи, которые после линзы должны идти в соответствии с правилами преобразования лучей, а пересечение этих лучей (действительное изображение) или пересечение продолжения этих лучей (мнимое изображение) и будет определять положение изображения.

Рис. 14. Построение изображения в тонких линзах: в собирающей (а) и в рассеивающей (б)

Из рисунка (б) видно, что в рассеивающей линзе изображение всегда будет мнимым, прямым (т.е. стрелки AB и A'B' направлены в одну сторону) и поперечный размер изображения будет меньше размеров самого предмета.

Для собирающей линзы, показанной на рисунке, изображение действительное, обратное (т.е. стрелки AB и A'B' направлены в разные стороны) и увеличенное.

Если луч 1падает на линзу под углом к главной оптической оси, то ход этого луча после линзы строят следующим образом. Параллельно этому лучу проводят прямую 2–2', проходящую через центр линзы. Через задний фокус F' линзы проводят линию перпендикулярную главной оси. Точка пересечения этих линий и будет точкой, в которую попадет луч 1' после линзы.

Рис. 15. Построение хода луча, падающего на тонкую линзу под углом к оптической оси ОО'

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: