ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПРИНЦИП ГАУССА

Принцип Гаусса позволяет свести получение дифференциальных уравнений движения к выпи­сыванию условий экстремума принуждения (6), яв­ляющегося функцией второй степени относительно ускорений. Рассмотрим пример.

Пример 6. Найдем дифференциальное уравне­ние плоского движения математического маятника. Маятник представляет собой точечную массу, при­крепленную при помощи невесомого стержня дли­ны l к точке O, около которой стержень может вра­щаться без трения в вертикальной плоскости (рис. 4).

Функция Z вычисляется по формуле

Так как F_x = mg, F_y = 0, а

То она может быть записана в виде

Из условия получаем искомое уравнение

При помощи принципа Гаусса были найдены новые уравнения аналитической динамики, приме­нимые к системам как с геометрическими, так и с дифференциальными неинтегрируемыми связями (последние системы называются неголономными). Это уравнения Гиббса-Аппеля, широко используе­мые, например, в динамике твердых тел, катящихся без скольжения по неподвижной или подвижной поверхности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Принцип наименьшего принуждения Гаусса ис­следовали многие математики, механики и физики. Для целей разного рода теоретических исследова­ний и решения конкретных задач принципу были даны различные модификации и обобщения.

В XIX веке благодаря трудам Г. Шеффлера, А. Риттера, Р. Липшица, Дж. Гиббса, Л. Больцмана и др. была получена аналитическая формулировка принципа Гаусса, уточнен характер варьирования движения, дано применение принципа к системам с неудерживающими связями, обнаружилось значе­ние принципа Гаусса как наиболее общего принци­па механики. Еще более существенное развитие принцип Гаусса получил в нашем столетии. Иссле­дования А. И. Грдины развивали принцип Гаусса вообще и особенно применительно к динамике жи­вых организмов. В его работах впервые рассмотре­ны связи, зависящие от переменных параметров, показано, что принцип Гаусса распространяется на неголономные системы с “волевыми связями”.

Е.А. Болотов обобщил принцип Гаусса на случай частичного освобождения систем от голономных и линейных по скоростям неголономных связей, рас­ширив тем самым высказанную еще Э. Махом мысль о частичной освобождаемости в случае голономных связей. (У Гаусса все связи удерживающие и предполагается полное освобождение системы.) Обобщенный принцип Гаусса в формулировке Бо­лотова состоит в том, что отклонение действитель­ного движения системы от действительного же ее движения, получающегося при отбрасывании всех не­удерживающих связей и произвольного числа удержива­ющих, меньше, чем отклонение любого из возможных движений. Е.А. Болотов также показал справедли­вость обобщенного принципа Гаусса в некоторых задачах теории удара.

Совсем недавно В.А. Синицын получил новую форму принципа Гаусса, предполагающую осво­бождение системы не от всех (как у Болотова), а только от части неудерживающих связей. Эта новая форма принципа Гаусса была применена Синицы­ным при анализе проблемы ослабления неудержи­вающих связей.

Н.Г. Четаев дал новое (аксиоматическое) опре­деление понятия виртуального перемещения для неголономных систем с нелинейными по скоро­стям связями. Он также предложил новую точку зрения на освобождение материальных систем. Че- таев показал, что при данном им определении вир­туальных перемещений и освобождении принцип Гаусса справедлив и для нелинейных неголономных систем. Кроме того, Четаев дал новую энергетичес­кую трактовку принципа Гаусса для систем с голономными и линейными неголономными связями.

В последние десятилетия принцип Гаусса полу­чил дальнейшее развитие в работах В.В. Румянцева. Он установил принцип Гаусса для систем с неиде­альными связями, обобщил его на сплошные сре­ды, на управляемые механические системы.

Принцип наименьшего принуждения имеет не только теоретическую, но и большую практическую значимость. Область его приложений не ограничи­вается только задачами механики. Этот принцип находит приложения в теоретической физике и дру­гих смежных областях естествознания.

Недавно Б. Вуяновичем (B. Vujanovic, 1976) прин­цип Гаусса был использован для получения прибли­женных решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). Предло­жен компьютерный метод моделирования динами­ки сложных управляемых многозвенных механиче­ских систем без вывода уравнений движения на основе прямой реализации принципа наименьшего принуждения Гаусса (А.Ф. Верещагин, 1975).

Принцип Гаусса и сейчас привлекает внимание исследователей, теоретиков и прикладников. В са­мом выражении “наименьшее принуждение” за­ключена какая-то неразгаданная тайна. Как и поче­му природа минимизирует принуждение? Наверное, на этот вопрос нет ответа. Возможности же практи­ческого использования идей, содержащихся в прин­ципе наименьшего принуждения Гаусса, в приклад­ных задачах раскрыты далеко не полностью. Поиск продолжается...

Литература

1.Гаусс, К. Об одном новом общем принципе механики.Вариационные принципы механики. М. : Физ-матгиз, 1959: – С. 170-172с.

2.Четаев, Н.Г. Устойчивость движения.Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962: – 535с.

3.Цыганова,Н.Я.Основные этапы развития принципа наименьшего принуждения.История и методология естественных наук. М. : Изд-во МГУ, 1970: - 122-134с.

4.Румянцев, В.В.О принципах Гаусса и Четаева для си­стем с неидеальными связями.Теоретическая и прикладная механика. 1974: – Т. 5, № 1.9-14с.

5.Синицын, В.А.О принципе наименьшего принужде­ния для систем с неудерживающими связями.Прикл. математика и механика. 1990: – Т. 54, вып. 6. 920-925с.

6.Маркеев, А.П. Теоретическая механика. М. : Наука, 1990: – 416с.

7. Веретенников, В.Г. Теоретическая ме­ханика: Дополнения к общим разделам / В. А. Синицын – М. : МАИ, 1996: – 340с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: