ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Для формулировки принципа Гаусса следует предварительно дать необходимые определения и понятия из теоретической механики.

Рассмотрим систему материальных точек P_v, v = 1, 2, ..., N, с массами m_v, радиусы-векторы и пря­моугольные декартовы координаты которых в непо­движной системе координат обозначим через r_v и x_v, y_v, z_v, через v_v и w_v обозначим скорость и ускорение точки P_v. Очень часто при движении системы поло­жения и скорости ее точек не могут быть произволь­ными. Ограничения, налагаемые на r_v и v_v, , которые должны выполняться при любых действующих на систему силах, называются связями. Если на систе­му не наложены связи, то она называется свободной. Системы со связями называют несвободными.

В общем случае связь задается соотношением f(r_u ..., r_n, Vj, ..., v_n, t) > 0. Если в нем реализуется только знак равенства, то связь называется удер­живающей. Например, при движении точки P по сфере постоянного или переменного радиуса R с центром в начале координат имеем удерживающую связь x² + y² + z² - R² = 0.

Если же в соотношении f > 0 реализуются как знак равенства, так и знак строгого неравенства, то связь называется неудерживающей. Пусть, напри­мер, две точки Р₁ и Р₂ связаны нерастяжимой нитью длины l. Здесь имеем неудерживающую связь, за­даваемую соотношением l² – (x_J – x₂)² – (y_x – y₂)² – (z₁ – z₂)² ≥ 0, которое означает, что точки не могут находиться одна от другой на расстоянии, большем l.

Если соотношение, задающее связь, не содер­жит проекции скоростей точек системы, то эта связь называется геометрической (или голономной), в противном случае связь называется дифференци­альной. Иногда дифференциальную связь можно представить в виде зависимости между координата­ми точек системы и временем (как в случае геомет­рической связи). Тогда ее называют интегрируемой. Неинтегрируемую дифференциальную связь назы­вают еще неголономной.

Точки несвободной системы не могут двигаться в пространстве совершенно произвольно. Их кине­матически возможные (то есть допускаемые связями) координаты, скорости, ускорения и перемещения должны удовлетворять некоторым соотношениям, вытекающим из уравнений связей.

Помимо перемещений, соответствующих дей­ствительному (истинному, реальному) движению, в механике важны еще так называемые виртуальные (воображаемые) перемещения. Виртуальным пере­мещением точки Р, называют такое ее малое переме­щение r_v = ( x_v, y_v, z_v), мысленно осуществляе­мое из данного положения при фиксированном времени t, которое с точностью до членов первого порядка малости включительно относительно x_v, y_v, z_v не нарушает связей.

Поясним это на примере. Рассмотрим систему, состоящую из одной материальной точки, которая должна оставаться на поверхности f(x, y, z, t) = 0. Пусть в момент времени t точка занимает положе­ние P₀ с координатами x₀, y₀, z₀. Мысленно дадим точке бесконечно малое перемещение r = ( x, y, z). Тогда ее координаты примут значения x₀ + x, y₀ + y, z₀ + z. Но не всякое r не нарушает связи. Если смещенная точка остается на поверхности, то x, y, z должны удовлетворять уравнению f(x₀ + x, y₀ + y, z₀ + z, t) = 0. Разлагая его левую часть в ряд Тейлора, получаем соотношение

где частные производные вычисляются в точке P₀, а многоточие обозначает члены выше первого поряд­ка малости относительно x, y, z. Если этими чле­нами пренебречь и учесть, что f(x₀, y₀, z₀, t) = 0, то придем к уравнению

определяющему виртуальные перемещения. Урав­нение (1), в частности, показывает, что в отличие от действительного перемещения, которое единствен­но, число виртуальных перемещений бесконечно: мы имеем одно линейное уравнение (1) относитель­но трех неизвестных x, y, z. Любой бесконечно малый вектор, имеющий начало в точке P₀ и лежа­щий в плоскости, касательной к поверхности f = 0, будет задавать виртуальное перемещение.

Бесконечно малые приращения x_v, y_v, z_v, на­зываются еще вариациями величин x_v, y_v, z_v. Пере­ход при фиксированном времени t из положения системы, определяемого радиусами-векторами r_v, в бесконечно близкое положение, определяемое ра­диусами-векторами r_v + r_v, называют синхронным варьированием.

Если система свободная, то ускорения a_v ее то­чек определяются из второго закона Ньютона: m_v a_v = F_v, где F_v — равнодействующая сил, приложенных к точке P_v. Если же система несвободная, то на ус­корения ее точек наложены вполне определенные ограничения. Величины a_v не будут, вообще говоря, удовлетворять этим ограничениям, то есть ускорения w_v точек P_v несвободной системы будут отличаться от их ускорений a_v в случае свободной системы, у точки P_v появляется дополнительное ускорение w_v - a_v. Это ускорение возникает за счет неизвестных сил, обус­ловленных наличием связей. Их называют реакция­ми связей. Силы F_v называют активными силами. Они являются известными функциями координат и скоростей точек системы, а также, возможно, и вре­мени t.

Обозначив через R_v равнодействующую реакций связей, приложенных к точке P_v, согласно второму закону Ньютона получим m_v (w_v - a) = R_v. Отсюда и из равенств m_v a_v = F_v следуют уравнения движения точек системы

m_vw_v = R + F_v, v = 1, 2, …, N.

Связи называются идеальными, если работа реакций этих связей на любых виртуальных перемещениях равна нулю, то есть

Примерами систем с идеальными связями могут служить следующие системы: материальная точка на абсолютно гладкой поверхности; свободное твердое тело; тело, вращающееся вокруг неподвиж­ной оси; два тела, соединенные точечным шарни­ром; два соприкасающихся тела при отсутствии проскальзывания; две точки, соединенные невесо­мой нерастяжимой нитью, не оказывающей сопро­тивления изменению ее формы (идеальная нить). Многие материальные объекты в природе и технике с приемлемой для практики точностью можно мо­делировать системой с идеальными связями. Далее рассматриваются только такие системы.

ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ

Принцип наименьшего принуждения дает при­знак, отличающий действительное движение от класса других движений, кинематически возмож­ных при тех же условиях.

Гаусс дал следующую словесную формулировку своего принципа: “Движение системы материаль­ных точек, связанных между собой произвольным об­разом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свобод­ными, то есть происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений масс каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной”.

Пусть P_v — положение v-й точки в момент време­ни t (рис. 1), а B_v — положение, которое заняла бы эта точка через промежуток времени dt, если бы в момент t система была освобождена от связей. При­веденный принцип утверждает, что положения A, которые займут точки системы в момент t + dt в дей­ствительном движении, выделяются между всеми положениями, допускаемыми связями, тем, что для них величина G, определяемая по формуле

где s_v — длина вектора B_VA_V, имеет минимальное значение.

Таким образом, мерой принуждения Гаусс назы­вает величину (4), характеризующую отклонение системы, движущейся под действием активных сил при наложенных на нее связях, от свободного дви­жения, которое она имела бы начиная с рассматри­ваемого момента, двигаясь под действием тех же ак­тивных сил, с теми же начальными скоростями в момент времени t, если бы с этого момента были ус­транены наложенные на систему связи.

Равновесие является частным случаем движения и также описывается принципом Гаусса. Пусть сис­тема занимает некоторое допускаемое связями по­ложение и все ее точки имеют нулевые скорости. Тогда если каждое движение дает большее значение величине (4), то рассматриваемое положение будет положением равновесия. В этом случае состояние покоя является более близким к свободному движе­нию, нежели любое кинематически возможное дви­жение.

Весьма интересно, что идея отклонения систе­мы от свободного движения в форме (4) суммы ве­личин, пропорциональных квадратам отклонений точек системы, заимствована Гауссом в им же по­строенной теории ошибок. Принцип наименьшего принуждения является механическим аналогом ме­тода наименьших квадратов, лежащего в основе всех статистических исследований. Величина (4), будучи поделенной на массу всей системы, выразит квадрат среднего взвешенного из квадратов откло­нений отдельных точек системы, причем множите­ли m_v соответствуют “весовому” множителю в мето­де наименьших квадратов. Выявляя замечательную внутреннюю связь идеи принципа наименьшего принуждения с методом наименьших квадратов, Гаусс замечает, что “свободное движение, если оно при наличии имеющихся условий не может иметь места, модифицируется природой в точности таким образом, каким вычисляющий математик, пользу­ясь методом наименьших квадратов, выравнивает результаты эксперимента, относящиеся к величи­нам, связанным некоторой зависимостью”.

Следующий пример иллюстрирует принцип Гаусса

Пример 1. Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой прямой, накло­ненной к горизонтальной плоскости под углом а (рис. 2). Найдем ускорение точки.

Пусть в начальный момент точка занимает поло­жение P и имеет скорость, равную нулю. При сво­бодном движении точка двигалась бы по вертикали и за время dt прошла бы расстояние PB = 1/2 g(dt)². В действительном несвободном движении по пря­мой PC точка движется с неизвестным ускорением w и за время dt проходит расстояние PA = 1/2 w(dt)².

Действительное движение наименее отклонится от свободного движения, если точка A будет основа­нием перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую PC. Следовательно, PA = PB sin а. Отсюда с учетом выражений для PA и PB находим искомое ус­корение: w = gsin а.

Для применения принципа Гаусса к решению конкретных задач механики и физики целесообраз­но получить его аналитическое выражение в декар­товых координатах. Пусть в момент времени t точка P_v несвободной системы имеет скорость v_v, а F_v — равнодействующая всех активных сил, приложен­ных к точке P_v. Тогда (см. рис. 1) с точностью до чле­нов второго порядка малости относительно dt имеем

Отклонение s_v = B_VA_V точки P_v при несвобод­ном движении от ее положения при свободном дви­жении вызвано действием связей, принуждающих точки системы отклоняться от движения, свойст­венного точкам свободной системы. Для квадрата длины вектора s_v получаем выражение

и функция (4), следовательно, может быть записана в виде G = 1/2(dt)⁴Z, где

Функция Z называется принуждением (по-не­мецки Zwang). От меры принуждения (4) она отли­чается несущественным для существования экстре­мума множителем 1/2(dt)⁴.

Отбрасывая этот множитель, получаем следую­щую формулировку принципа Гаусса: в каждый мо­мент времени истинное движение системы, находя­щейся под действием активных сил и подверженной идеальным удерживающим связям, отличается от всех кинематически возможных движений, соверша­ющихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения принуждение Z является мини­мальным.

Математически это выражается равенством δZ = 0, причем вариация берется при неизменяе­мых координатах и скоростях точек системы, то есть варьируются только ускорения.

В координатной форме принуждение записыва­ется в виде

Рассмотрим несложный пример применения принципа наименьшего принуждения к решению задач механики.

Пример 2. Три груза массы m каждый соедине­ны невесомой нерастяжимой нитью, переброшен­ной через неподвижный блок (рис. 3, а). Два груза лежат на горизонтальной плоскости, а третий груз подвешен вертикально. Пренебрегая трением, най­дем ускорения грузов.

Так как нить нерастяжима, то грузы движутся с одинаковыми по модулю ускорениями. Имеем

w₁ = w₂ = w_j, w₃ = w_i; F₁ = F₂ = F₃ = mg_i. Для принуж­дения (7) получаем

Функция Z является квадратным трехчленом отно­сительно w. Из условия его минимума получаем w =

= 1/3 g.

Следующий пример иллюстрирует примени­мость принципа Гаусса к случаям равновесия.

Пример 3. К концам невесомого горизонталь­ного рычага с плечами l₁ и l₂ подвешены грузы P₁ и P₂ весами m₁ g и m₂g соответственно (рис. 3, б). Вна­чале система удерживалась в покое. Когда ее отпус­кают, грузы могут прийти в движение. В самом нача­ле движения ускорения грузов будут вертикальны. Пусть ускорение w₁ груза P₁ равно w и направлено вниз. Тогда, очевидно, ускорение w₂ груза P₂ направ­лено вверх и равно w(l₂/1₁). Для принуждения Z имеем выражение

Из условия минимума функции Z находим

Если веса грузов обратно пропорциональны плечам рычага, то есть m₁ /m₂ = l₂/1₁, то w = 0 и рычаг находится в равновесии. В этом случае, следова­тельно, покой дает наименьшее отклонение от сво­бодного движения.

Теперь используем принцип Гаусса для решения несколько более сложных задач.

Пример 4. Дана система из двух блоков, непо­движного A и подвижного B и трех грузов P₁, P₂, P₃, подвешенных при помощи невесомых нерастяжи­мых нитей, как показано на рис. 3, в. Массы грузов соответственно равны m₁, m₂, m₃, блоки невесомы, трения нет. При t = 0 скорости грузов равны нулю. При каком соотношении масс грузов груз P₁ при t > 0 будет опускаться?

Пусть x₁, x₂, x₃ — координаты грузов P₁, P₂, P₃, а x_B — координата центра блока B. Тогда

а условия нерастяжимости нитей запишутся в виде равенств

x₁ + x_B = const, x₂ + x₃ - 2x_B = const.

Отсюда получаем, что

Выразив ₃ получим, что функция Z будет функцией от двух переменных ₁ и ₂:

Из условий экстремума имеем два уравнения для нахождения ускорений ₁ и ₂:

или

(m₁+4m₃) +2m₃ = (m₁ – 2m₃)g

2m₃ + (m₂ + m₃) = (m₂ ­­– m₃)g

Из этих уравнений находим

Груз P₁ будет опускаться, если ₁ > 0. Поэтому искомое соотношение масс грузов записывается в виде неравенства

Пример 5. Призма А массы m скользит по боковой грани призмы B массы М, образуя угол α с горизонтом (рис. 3, г). Определить ускорение w_пр призмы B и горизонтальную w_x и вертикальную w_y составляющие ускорения призмы А. Трением пренебречь.

Так как призма А не отрывается от призмы B, то (см. рис. 3, г)

w_x = –w_пр + w_отн , w_y = –w_отн . (8)

Для принуждения имеем выражение

Но из (8) следует, что

w_y = –(w_x + w_пр)tgα. (10)

Поэтому

Условие экстремума

дают уравнения

Из системы уравнений (10) – (12) получаем искомые величины:

 

12

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.