Основные аналитические методы исследования движения жидкости

ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

Предварительные указания

При рассмотрении движения жидкости, вообще говоря, приходится стал­киваться с двумя различными задачами:

1) с так называемой внешней задачей; здесь задан поток жид­кости, требуется же найти силы, приложенные к тому или другому твердому телу, обтекаемому жидкостью;

2) с так называемой внутренней задачей; здесь, наоборот, заданы силы, действующие на жидкость (в частности, объемные силы, на­пример, силы тяжести); требуется же найти так называемые гидродина­мические характеристики потока.

К числу гидродинамических характеристик потока относятся: а) ско­рость а движения жидких частиц; б) уже известная из предыдущего (см. гл.2) величина р, которая называется здесь гидродинамическим явлением.[1]

В случае идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет тот же смысл и обладает теми же свойствами, что и гидростатическое давление р. В случае же реальной (вязкой) жидкости гидродинамическому давлению р приходится придавать особое значение.

Дело в том, что при рассмотрении элементарной призмы на рис. 2-4 в случае движения вязкой жидкости приходится учитывать касательные напряжения, возникающие по граням этой призмы (так же как и в случае твердого тела). При этом оказывается, что

где - действительные нормальные напряжения в рассматриваемой точке, относя­щиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам действия.

Имея в виду такое положение, при анализе движения вязкой жидкости пользуются гипо­тезой, согласно которой

причем вычисленное таким образом значение р принимают в качестве характеристики давления напряжения) в рассматриваемой точке. Эту величину р и называют гидродинамическим давле­нием в точке. Как видно, в случае движения вязкой жидкости величина р не является реальным напряжением, а представляет собой среднеарифметическое значение из действительных нор­мальных напряжений, определенных для трех взаимно перпендикулярных площадок действия, произвольно намеченных в данной точке (считается, что величина р не изменяется с изменением ориентировки этих трех взаимно ортогональных площадок).

Ниже, главным образом, будем иметь в виду вторую (внутреннюю) задачу. При этом, как отмечено, решая ее, будем отыскивать величины и и p (зная силы, действующие на жидкость). В отношении мир надо сказать, что

в общем случае они для разных точек пространства, занятого жидкостью, имеют различную величину. Кроме того, они для данной точки пространства могут изменяться и во времени.

Учитывая сказанное, можем написать:

(3-1)

(3-2)

где проекции скорости и на оси декартовой (прямоугольной) си­стемы координат.

Если бы мы нашли функции то тем самым и решили бы нашу задачу. Действительно, зная эти функции, мы могли бы для каждой точки пространства найти и и р и установить, чему для данной точки пространства равны величины и и р в различные моменты времени. Однако указанные функции очень часто отыскать нет возможности. Поэтому в гидравлике, как правило, отказываются от использования зависимостей (3-1) и (3-2) и идут по иному пути. В основу решений, приводимых в гидравлике (в технической механике жидкости), полагают другие уравнения, которые все же имеют достаточно общий характер. К числу таких основных уравнений гидравлики относятся следующие три уравнения:

1) уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (иногда это уравнение называют уравнением баланса расхода жидкости);

2) уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли);

3) гидравлическое уравнение количества движения.

Эти три уравнения и составляют основную теоретическую базу техни­ческой гидродинамики. В дальнейшем в этой главе мы дадим соответствую­щий вывод этих уравнений (для случая так называемого установившегося движения жидкости) и подробно их разъясним. Предварительно же остано­вимся на пояснении некоторых, исходных представлений в основном из области кинематики жидкости.

Основные аналитические методы исследования движения жидкости

Различают два принципиально разных аналитических метода исследова­ния движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

1°. Метод Лагранжа. Представим себе некоторую область, занятую движущейся жидкостью (рис. 3-1). Наметим неподвижные оси коор­динат Ох и Oz. Будем рассматривать ряд движущихся частиц жидкости: М_г, /И₂, М₃, . . ., находящихся в начальный момент времени на границе изу­чаемой области. Обозначим через х₀ и z₀ начальные координаты этих жидких частиц.

Будем считать, что для каждой частицы М нам известны зависимости

(3-3)

Тогда, пользуясь этими зависимостями, легко можно построить траекто­рии намеченных частиц жидкости. Далее можем в любом месте этих траекто­рий найти длину пути ds, проходимого частицей за время dt. Деля же ds на dt, можем найти скорость в данной точке; можно так же найти и ускорение любой частицы М в любой точке пространства в тот или другой момент времени. Как видно, в данном случае мы следим за отдельными ча­стицами жидкости в течение времени t, за которое эти частицы, двигаясь по своим траекториям, проходят всю рассматриваемую область.

Согласно Лагранжу, о потоке жидкости в целом мы судим по совокуп­ному рассмотрению траекторий, описываемых жидкими частицами.

Существенно подчеркнуть, что здесь (в отличие от метода Эйлера; см. ниже) х и zпредставляют собой текущие координаты жидких ча­стиц. Поэтому величины dx и dz должны в данном случае рассматриваться как проекции пути ds на соответствующие координаты. В силу этого, со­гласно Лагранжу, можем написать:

(3-4)

2°. Метод Эйлера. Представим себе снова некоторую область, занятую движущейся жидкостью (рис. 3-2). Согласно Эйлеру, мы не следим за дви­жением отдельных частиц жидкости М и не интересуемся их траекториями.

Рис. 3-1. К методу Лагранжа

Рис. 3-2. К методу Эйлера

В соответствии с предложением Эйлера мы намечаем точки 1, 2, 3, . . ., которые считаем скрепленными с рассматриваемым пространством. Эти точки неподвижны при протекании через них жидкости. Здесь величины х и zне есть текущие координаты частиц жидкости, а просто координаты не­подвижных точек пространства.

Рассмотрим момент времени t₁. В этот момент времени в точке 1 (рис. 3-2) будет находиться некоторая частица жидкости, имеющая скорость и _t (t₁); в этот же момент времени в точке 2 будем иметь скорость и₂ ( ) точке 3 — скорость и₃( ) и т. д.

Как видно, для момента времени t₁ поток оказывается представленным векторным полем скоростей, причем каждый вектор скорости относится к определенной неподвижной точке пространства (и к данному моменту вре­мени t).

В следующий момент времени в точках 1, 2, 3, ... получаем соответ­ственно скорости и₁ (t₂), u₂ (t₂), и₃ (t₂),и т. д., причем в общем случае полу­чаем другое поле скоростей.

Как видно, согласно Эйлеру, поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства.

Сопоставляя векторное поле скоростей, отвечающее моменту времени t_lt с векторным полем скоростей, отвечающим моменту времени t_2t легко можно себе представить, как рассматриваемый поток изменяется с течением времени.

Выше было отмечено, что координаты х и z, согласно Эйлеру, являются координатами неподвижных произвольных точек пространства. Поэтому в данном случае величины dx и dz нельзя рассматривать как проекции эле­ментарного пути ds, проходимого частицами жидкости за время dt. Вели­чины dx и dz здесь являются просто произвольными приращениями коор­динат х и z. В связи с этим зависимости (3-4) в случае метода Эйлера — не­приемлемы.

3°. Метод исследования движения жидкости, применяемый в гидравлике.Метод Лагранжа ввиду его сложности не нашел широкого применения втехнической механике жидкости. Далее в основном будем пользоваться методом Эйлера. Однако, применяя его, все же не будем совершенно отрешаться от рассмотрения движения частиц жидкости М. Мы будем следить за их движе­нием, но не в продолжение времени t (как это следует по Лагранжу), а в про­должение только элементарного отрезка времени dt, в течение которого дан­ная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. Принимая такую постановку вопроса, можем считать, что в каждой точке пространства за время dt соответствующая частица жидкости про­ходит путь ds, проекции которого равны dx и dz. При этом, очевидно, для определения проекций скорости и_х ии_г можно будет пользоваться соотноше­ниями (3-4).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: