Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

(12)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 35.Найти предел

Решение. Находимпределы основания и показателя степени исходноговыражения и убеждаемся в том,что переднаминеопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел, используя (12):

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 36.Найти предел

Решение.Преобразуемлогарифм исходноговыражения,применивформулу Отсюда Теперь находим искомый предел:

Для вычисления предела , где т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

. (13)

Пример 37.Найти предел

Решение.Находим

Далее, и в силу (13) получаем

Пример 38.Последовательность функцийопределяется следующим образом:Найти

Решение.Легко заметить и доказать по индукции, чтоОценим разность междуи числомявляющимся корнемуравнения .Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенствок разностии т.д., получимто есть .Отсюда видно, что

Непрерывность функции

Определение.Функция , заданная на множестве называется непрерывной в точке а Е, если

(14)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 42); если же а - предельная для множества Е, то (14) означает, что

Пример 39.Доказать, чтофункция непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ.Посколькуопределена при всехзначениях R,тоЕ= R и(14) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

(15)

Пусть выполненонеравенството естьТогда Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство ,то неравенство (15) также будет выполнено:Итак, для выполнения последнего неравенствапотребовалось, чтобыи .Поэтому

2-й способ.Неравенство для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если Таким образом,

Рис.1

3-й способ.Найдём по графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 40.С помощью « » рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2) .

Решение.1).Пусть Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).

2). Покажем, что для любых х и а

(16)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

где (17)

Если х и а одного знака, то

Мы воспользовались известным неравенством Из него же следует справедливость (17) для х и а разного знака. Из неравенства (16)следует, что в качестве искомого можно взять : если , то получаем, что

Точки разрыва функции

Пусть функция определена в точках некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки

Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если не выполнено равенство

(то есть функция не является непрерывной в точке ).

Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы и , то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва. На рис. 2 в точках функция имеет разрыв первого рода, при этом точка устранимая, а - точка скачка.

Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом или , то а называется точкой бесконечного разрыва. В точках на рис.2 и рис.3 функции имеют разрыв второго рода (в обоих случаях бесконечный). Заметим, что на рис.3 изображён график

Если в полуокрестности слева или справа от а не определена, то для исследования характера разрыва рассматривают только или .

Следовательно, на рис. 2 является устранимой, - точка непрерывности, на рис. 3 - устранимая.

Более сложные, чем мы рассмотрели, случаи разрыва второго рода дают функции , Дирихле и Римана [1,2].

Рис.2 Рис.3

Пример 41. Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. В точках функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке оба односторонних предела существуют и не равны: . Следовательно, - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно, - точка разрыва второго рода

( точка бесконечного разрыва).

Пример 42. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение. Находим область определения функции: Отсюда или . На функция непрерывна: на множестве в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим . Поскольку чётная, то и . Следовательно, - точки устранимого разрыва.

Пример 43. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график.

Решение. Пусть х>0. При х>1 и у=0. При у=1. При и Таким образом, при

(одновременно строим график, рис.4); Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1 и .При , у=1. При и Таким образом, при

Рис. 4

Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.

Ответ: - точки разрыва первого рода, - точка устранимого разрыва.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

2. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

4. Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум – М.: Издательство Юрайт; Высшее образование, 2010. – 909с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: