Предел последовательности

П Р Е Д Е Л Ы

Учебно-методические указания

Ульяновск

УДК 517.2 (о75.8)

ББК 22.161.11 я73

Ш 93

Печатается по решению Учёного совета факультета математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета

Рецензент -кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики УлГУ А. Ю. Богданов

Штраус, Л.А.

Ш 93 Пределы: учебно-методические указания /Л.А. Штраус, И. В. Баринова.-

Ульяновск: УлГУ, 2011.- с.

Методические указания соответствуют программам курсов математического анализа для факультета математики и информационных технологий и математики для факультета управления. Они направлены на усвоение первоначальных понятий математического анализа и развитие вычилительных навыков, необходимых студентам в течение всего периода обучения в университете. Указания будут полезны студентам при самостоятельной работе на начальном этапе изучения математического анализа.

УДК 517.2 (о75.8)

ББК 22.161.11 я73

Штраус Л. А., Баринова И. В., 2011

Ульяновский государственный университет, 2011

Cодержание

Введение………………………………………………………………………..3

Предел последовательности…………………………………………………..4

Предел функции……………………………………………………………….11

Непрерывность функции……………………………………………………..21

Точки разрыва функции…………………………………………………….. 23

Введение

Методические указания составлены в соответствии с учебными программами бакалавриата для курса математического анализа на факультете математики и информационных технологий и курса математики на факультете управления и относятся к разделу «Введение в анализ». Они будут способствовать усвоению теоретического материала и формированию вычислительных навыков у студентов первого курса по одной из первых тем дисциплины, преодолению разрыва между уровнем математической подготовки выпускников средней школы и требованиями, предъявляемыми к уровню знаний студентов. Рассматриваемые задачи занимают максимально широкий диапазон - от простейших упражнений, соответствующих сборнику [3] (по которому можно составлять индивидуальные семестровые задания) и контролирующих формирование необходимых вычислительных навыков, до серьёзных задач из сборника [1]. В последнем случае предлагаемые решения классических задач не копируют решений из [2] и соответствуют логике изучения дисциплины. Некоторые понятия, обязательные для изучения на факультете математики и информационных технологий (верхний и нижний пределы последовательности, равномерная непрерывность функции и др.) не рассматриваются в данных указаниях. Однако многие из основных определений здесь приведены. Перед их применением необходимо ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику.

Предел последовательности

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

( ).

Пример 1. Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда , откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

Пример 2. Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство принимает вид , Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Уменьшим знаменатель и увеличим числитель Дробь увеличится и мы перейдём к неравенству, которое проще исходного: Решаем его: . Ранее мы получили условие . Следовательно, условиям задачи отвечают числа Отсюда

При вычислении предела в случае и (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае , и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.

Пример 3.Найти предел .

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем

Вообще предел отношения двух многочленов переменной можно находить по правилу

(1)

так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .

При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона

(2)

Также следует знать формулу ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).

Пример 4. Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -

старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 ( ). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку при то , и по свойствам предела получаем

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения

(3)

(4)

(5)

(первая и вторая из них получаются из третьей при и соответственно).

Так, например, если выражение содержит множитель , где и и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .

Пример 5. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость .Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю, и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при

Замечание. Сразу после (6) можно было записать , поскольку показатели степени слагаемых и в знаменателе равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть и коэффициент при равен 2 .На языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно(~) , для числителя ~ , а при вычислении пределов множители можно заменять на эквивалентные (см. с.12). Аналогично в примере 4 можно было записать

Пример 6. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость . Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на и воспользуемся арифметическими свойствами предела:

. (7)

Замечание. Сразу после (7) можно было записать ( см. предыдущее замечание).

Пример 7. Найти предел

Решение.Поскольку , то . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то . Окончательно получаем

Пример 8. Найти предел

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :

поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим Если - чётное, , то Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом Поскольку то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ. Обозначим Заметим, что при Поэтому последовательность убывает при и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим и перейдём к пределу в равенстве

2-й способ. Используя формулу (2), получаем Отсюда Поскольку , из последнего неравенства следует, что

3-й способ. Найдём , при которых выполняется неравенство Следовательно, при

, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

Второй замечательный предел

задаётся формулами , , где

или формулой (12). Он применяется, в частности, при вычислении пределов

, где т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12.Найти предел

Решение.Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Пример 14. Доказать, что

Решение. Покажем, что при любом

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает (см. пример 11) и её предел равен Тогда

Поскольку то и

Пример 15. Для нахождения применяется следующий процесс: произвольно,

. (8)

Доказать, что

Решение. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого Теперь убедимся в том, что последовательность не возрастает. Действительно, неравенство то есть , равносильно , . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: , .

Пример 16. Последовательность определяется следующим образом:

, . Найти .

Решение. Оценим разность между и числом , являющимся корнем уравнения : , . Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим , .

Поскольку , то и .

Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

Определение. Число называется пределом функции в точке , если

e d>0 d Þ e). (9)

Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция есть бесконечно малая при , если

Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

1. при .

2. при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если , и , то

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :

1. ,

5. ~ , ,

6. ~ , ,

7. ~ , ,

8. ~ , ,

9. ~ , ,

10. ~ , .

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если Следовательно, можно взять

Пример 18. Найти предел .

Решение. При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х+2:

, .

Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х = -2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем на общий множитель и находим предел: .

Пример 19. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

Поскольку , то

Пример 20. Найти предел .

Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

Поскольку , , то

Пример 21. Найти предел .

Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

, поскольку при .

Далее,

Пример 22. Найти предел a .

Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

Пример 23. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:

(10)

Воспользуемся формулой 9. ~ таблицы эквивалентностей:

Возможен такой вариант рассуждения: по предложению 3 выражение в числителе последней дроби в формуле (10) эквивалентно , следовательно,

2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся вторым вариантом формулы 9 из таблицы эквивалентностей.

Пример 24. Найти предел

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

Пример25. Найти предел

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

Получаем

Пример 26. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

Пример 27. Найти предел .

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями: