Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 7) п.8

=

10. Дана корреляционная функция k_X (τ) стационарного с. п. X(t). Найти корреляционную функцию , дисперсию случайного процесса , взаимную корреляционную функцию k_X,Z (t₁, t₂) (в случае б) –лишь при 0 £ t₂£ t₁ )

а) k_X (τ)= 72/(1+9τ ²).

б) k_X (τ)= .

Решение. а) Обозначим . Тогда по формуле (5) п. 8 имеем

.

Подставив эту функцию в (5), получим

Найдем дисперсию свойству 10) п. 8:

Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 11) п. 8

б) При t ³ 0 имеем (интеграл вычислен по частям).

По формуле (5) имеем

=

=

.

При условии 0 £ t₂£ t₁ по формуле 11) п.8 имеем

.

Заметим, что это вычисление верно и при более слабых условиях: t₂ £ t₁, 0£ t₁.

11. k_X (τ) - корреляционная функция стационарного с. п. X(t). Найти его спектральную плотность.

а) k_X (τ)=

б) k_X (τ)= 12exp(-4|τ|)(1+4|τ|).

Решение. а) Воспользуемся формулой (10) п. 10.

По формуле 15 приложения 1 при a = 4, m = w имеем

б) По формуле (10) п. 10 имеем

Первый из этих интегралов вычислим по формуле 19, а второй - по формуле 20 приложения 1:

12. Найти корреляционную функцию стационарного с. п. X(t), если его спектральная плотность

а) S_X (w) =

б) S_X (ω) =

Решение. а) Воспользуемся формулой (11) п. 10

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой 25 приложения 1.

,

если t ¹0. При t =0 получим

б) Воспользуемся формулой (9) п. 10

При t ³ 0 эти интегралы вычислим при помощи вычетов по формуле (4) приложения 2. Сначала найдем полюсы подынтегральных функций с положительной мнимой частью:

4 + (3 - ω)² = 0 ═> ω₁ = 3 + 2i, 4 + (3 + ω)² = 0 ═> ω₂ = -3 + 2i.

Имеем

.

Вычеты вычислим по формуле (1) приложения 2

Из-за четности функции k_X (τ) при всех получаем

13. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением y″ + 8y′+ 15y =5x′ +10x, подается стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием m_X = 5и спектральной плотностью S_X (ω) = sin7ω/ω. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

Решение. По формуле 1) п. 11 найдем математическое ожидание

Дисперсию будем вычислять по формуле 2) п. 11:

.

Сначала составим передаточную функцию

Затем найдем амплитудно-частотную характеристику системы

Подставив это выражение в формулу дисперсии, получим

Для вычисления этого интеграла разложим амплитудно-частотную характеристику на сумму простейших дробей.

Таким образом, и, следовательно,

Каждый из этих интегралов вычислим по формуле 8 приложения 1 (в первом интеграле положим m = 7, a =3, во втором - m = 7, a = 5):

14. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением y″+ 4y′+ 4y =5x′, подается стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией k_X (τ)=16exp(-4|τ|)cos3τ. Найти спектральную плотность S_Y (ω) случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

Решение. Сначала найдем спектральную плотность с. п. X(t) по формуле (10) п. 10

По формуле 22 приложения 1 при a = 4, m =3, n = ω имеем

Найдем передаточную функцию и амплитудно-частотную характеристику

Наконец, по формуле 3) п. 11 получим

15. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарный с. п. X(t) со спектральной плотностью S_X (ω). Найти корреляционную функцию k_Y (τ) с. п. Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

а)

б)

Решение. а) Воспользуемся формулой 4) п. 11.

.

Найдем амплитудно-частотную характеристику системы

Во втором интеграле сделаем замену Тогда

.

Последний интеграл вычислим по формуле (4) приложения 2.

Найдем все полюса подынтегральной функции с положительными мнимыми частями: ω² +1= 0 ═>ω₀ = i , 4 + (3 -ω)² = 0 ═> ω₁ = 3 + 2i. Все они являются простыми полюсами.

Таким образом,

.

Из-за четности функции k_X(τ) при всех действительных значениях τ получаем

.

б) Найдем амплитудно-частотную характеристику системы

По формуле 4) п. 11 получаем

Дробь в подынтегральном выражении разложим на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

.

Приравняем числители: Подставляя в это уравнение поочередно значения ω = 0, ω = 5i, ω = 2i, получим систему уравнений

Решив ее, найдем Таким образом,

В случае t ³ 0 первые два интеграла вычислим по формуле 1, а третий – по формуле 11 из приложения 1.

.

Из-за четности функции k_Y (τ) при всех действительных значениях τ имеем

.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Табличные интегралы

1. , a > 0, m ≥ 0.

2. a > 0, m ≥ 0.

3. a > 0, m ≥ n ≥ 0.

4. , a > 0, m ≥ n ≥ 0.

5.

6. , a ≥ 0, m > 0.

7. a > 0, m ≥ 0.

8. , a > 0, m ≥ 0.

9. a > 0, m ≥ 0.

10. , a > 0, m ≥ 0.

11. , a > 0, m ≥ 0

12. , a, b>0, m≥0, a ≠ b.

13. , a, b>0, m≥0, a ≠ b.

14.

15.

16.

17. , a > 0.

18. a > 0.

19. a > 0.

20. a > 0.

21. , a > 0.

22. , a > 0.

23. , a > 0.

24. a ≠ 0.

25. , a ≠ 0.

26. a ≠ 0.

27. a ≠ 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: