Произвольная плоская система сил

Под произвольной системой сил понимают совокупность сил, расположенных в одной плоскости, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Произвольную плоскую систему сил можно значительно упростить, приведя силы к одному центру приведения О. В результате чего в этом центре будет приложена сила , называемая главным вектором, и к телу в целом будет приложена пара сил с моментом М_О, называемым главным моментом относительно этого центра.

Главный вектор равен геометрической сумме сил, входящих в данную систему, а главный момент М_О - алгебраической сумме моментов сил относительно центра приведения, включая и алгебраическую сумму моментов пар сил:

,

Численное значение главного вектора определяется по его проекциям на координатные оси:

,

где и

Направление главного вектора находят по косинусам направляющих углов:

где , - орты осей Ох и Оу.

Условиями равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил являются равенство нулю главного вектора и главного момента относительно любого центра О:

= 0 и М_О = 0.

Эти условия выполняются, если

(1)

Уравнения (1) называются основными уравнениями равновесия. Существуют еще две формы уравнений равновесия:

(2)

(3)

В системе уравнений (2) ось х не должна быть перпендикулярной к прямой, проходящей через центры А и В, а центры А, В и С в системе (3) не должны лежать на одной прямой.

Пример С1. Жесткая рама АDСВ (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН×м, b = 30°, а = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Рис. С1

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки Авоспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу на составляющие , ( ) и учтем, что . Получим:

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (6) находим:

Из уравнения (4):

Из уравнения (5):

Ответ:

Знаки указывают, что реакции и направлены противоположно показанным на рисунке.

Для проверки правильности полученных результатов составим и решим проверочное уравнение равновесия в форме моментов всех сил относительно точки С.

Пример С2. Конструкция состоит из жесткого угольника АЕС и стержня СК, которые в точке С (рис. С2а) соединены друг с другом с помощью цилиндрического шарнира.

Внешними связями являются: в точке А - шарнирно-неподвижная опора, в точке В - невесомый стержень ВВ¢, в точке D - шарнирно-подвижная опора. К конструкции приложена сила , пара сил с моментом М и равномерно распределенная на участке КВ нагрузка интенсивности q.

Дано: F = 10 кН, a = 60°, q = 20 кН/м, М = 50 кН×м, а = 0,5 м.

Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками.

Рис. С2а

Решение.1. Для определения реакций расчленим систему по шарниру С и рассмотрим сначала равновесие стержня КС (рис. С2б). Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: равномерно распределенную нагрузку заменим силой , приложенной в середине участка ВК (численно Q = q×2а = 20 кН), реакцию стержня ВВ¢ направим вдоль этого стержня, а действие отброшенного угольника АЕС представим составляющими и реакции шарнира С.

Рис. С2б

Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(7)

(8)

(9)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона ( , ).

Из уравнения (9) находим:

Из уравнения (7):

Из уравнения (8):

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2в).

Рис. С2в

На него действуют: сила , пара сил с моментом М, реакция шарнирно-подвижной опоры D, составляющие и реакции шарнирно неподвижной опоры А и составляющие и реакции , направленные противоположно соответствующим реакциям и , которые были приложены к стержню КС. При решении учитываем, что численно = и = , в силу равенства действия и противодействия. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(10)

(11)

(12)

В уравнении (12) при вычислении момента силы , последняя разложена на составляющие и ( и ) и применена теорема Вариньона.

Из уравнения (12) находим:

Из уравнения (10):

Из уравнения (11):

Ответ: R_Ax = - 3,08 кH, R_Aу = 18,685 кH, R_D = 6,645 кH, R_B = 30,8 кH, R_Cx = 1,92 кH, R_Cy = 16,67 кH.

Знаки указывают, что сила реакции направлена противоположно показанной на рис. С2в.

Система сходящихся сил

Пример С3. . Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, ..., 6, соединенных друг с другом (в узлах K и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С3). В узлах K и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р = 100 Н, a₁ = 60°, b₁ = 60°, g₁ = 45°; Q = 50 H, a₂ = 45°, b₂ = 60°, g₂ = 60°, y = 30°, j = 60°, d = 74°. Определить усилия в стержнях 1-6.

Рис. С3

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла K, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реакции , , стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(13)

(14)

(15)

Из уравнения (15) находим:

Из уравнения (13):

Из уравнения (14):

N₁ = P×cos b₁ - N₂×cos y.

N₁ = 100×cos 60° - (-345)×cos 30° = 348,78 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же = N₂. Составим уравнения равновесия:

(16)

(17)

(18)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (16) и (17) удобнее сначала найти проекцию этой силы на плоскость хОу (по числовой величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси х, у.

Решая уравнение (17), находим:

Из уравнения (16):

Из уравнения (18):

Ответ: N₁ = 348,78 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H, N₄ = 49,79 H, N₅ = 328,86 H, N₆ = 65,48 H. Знаки показывают, что стержень 2 сжат, остальные растянуты.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: