АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ ЦИФРОВОГО УПРАВЛЕНИЯ

В данном разделе рассмотрим основные вопросы, связанные с анализом и синтезом систем цифрового управления. В первую оче­редь обратим внимание на математическую модель объекта управления.

При цифровом управлении аналоговым объектом (т. е. объек­том управления, движение которого описывается непрерывной функцией времени) в системе используются два дополнительных структурных компонента: экстраполятор или фиксатор (накопи­тель), преобразующий дискретный сигнал в непрерывный, и дис­кретный элемент (дискретизатор) — устройство для получения дис­кретных значений непрерывной величины в определенные тактовые моменты времени. Один из возможных вариантов построения сис­темы цифрового управления, соответствующий представленной на рис. 1.1 (а) непрерывной системе управления с единичной обратной связью, имеет вид, показанный на рис. 1.1(e). Для проведения ана­лиза такой системы управления и синтеза регулятора представим эту структурную схему в виде, изображенном на рис. 1.5. Такая структурная схема соответствует системе цифрового управления аналоговым объектом управления, представленным на рис. 1.6, в дискретные моменты времени. Для получения конкретного пред­ставления о характере процессов, протекающих в дискретной систе­ме (рис. 1.6), и выявления ее особенностей важное значение приоб­ретает этап анализа системы цифрового управления.

Рассмотрим этот вопрос в плане дискретного моделирования аналоговой (непрерывной) системы. В модели дискретной системы (так же , как и в модели непрерывной системы ) должно найти отражение формализованное представление о внутренней ситуации в виде уравнений состояния системы и внешней ситуации в виде импульсной передаточной функции ( z- передаточной функции ). Очевидна взаимосвязь между представлениями непрерывной ( во времени ) системы управления и дискретной системы управления таким объектом ( рис. 17 ) . Сигнал на выходе дискретной системы ( рис. 1.6) имеет вид временной последовательности , где Т – период квантования ( дискретизации ) сигнала по времени . Для представления такой временной последовательности на комплексной плоскости используется аппарат z- преобразования , дискретное преобразование Лапласа, . при этом z – преобразование временной последовательности определяется формулой определяется выражением :

В разделе 2.3 подробно рассматриваются вопросы, связанные с вве­дением z-преобразования, его свойствами и их использованием при анализе и синтезе систем методом пространства состояний.

Известны два способа построения модели, необходимой для проведения анализа и синтеза цифровой системы управления.

Согласно одному из них, модель формируется по известным входным и выходным переменным (математическая модель в дис­кретной временной области на рис. 1.2). Для этого широко испо­льзуются многочисленные модификации метода наименьших ква­дратов, включая обобщенный метод наименьших квадратов, после­довательностный метод наименьших квадратов для работы в Реальном масштабе времени и ряд других методов, которые оказы­ваются достаточно эффективными, например, при определении до­пустимой размерности (порядка) модели и периода выборки (кван­тования). Очень важное значение при этом имеют вопросы иденти­фикации и моделирования, однако эти вопросы выходят за тематические рамки данной книги. Достаточно подробно, напри­мер, они рассмотрены в публикациях <12,13>.

Другой способ заключается в составлении дискретной модели по уже полученной непрерывной (аналоговой) модели для заранее определенного периода квантования. Наиболее известны следую­щие четыре пути решения такой задачи:

1) уравнение состояния непрерывной системы преобразуется в уравнение состояния дискретной системы;

2) уравнение состояния непрерывной системы преобразуется в импульсную (z-передаточную) функцию;

3) передаточная функция непрерывной системы преобразуется в уравнение состояния дискретной системы;

4) передаточная функция непрерывной системы преобразуется в импульсную (z-передаточную) функцию.

Последний путь наиболее подробно рассмотрен в многочислен­ных публикациях, хотя в этом случае непосредственное преобразова­ние передаточной функции непрерывной системы в импульсную (z- передаточную) функцию в явном виде, к сожалению, невозможно. В связи с этим невозможно также представление в достаточно удобном виде зависимости между моделями непрерывной и дис­кретной систем.

В данной книге для дальнейшего изложения материала выбран первый из перечисленных выше путей, исходными для которого яв­ляются результаты анализа непрерывной модели объекта управле­ния (подробнее см. в разделах 2.1, 2.2 и 2.4). Так, для аналоговой модели, представленной уравнением состояния (1.3), дискретная мо­дель при заданном периоде квантования Т и с учетом принятых обозначений

имеет вид

где матрицы определяются соотношениями

Осуществляя z-преобразование в уравнении (1.11), получим z-передаточную (импульсную передаточную) функцию

В качестве примера рассмотрим определение z-передаточной функции для дискретной модели двигателя постоянного тока исходя из полученной после понижения размерности его аналоговой моде­ли при следующих значениях параметров:

Сначала, используя соотношения (1.12), находим значения пара­метров

Затем, подставляя значения параметров (1.15) в уравнение (1.13), определяем импульсную (z-передаточную) функцию, которая будет иметь вид

Из выражений (1.3) и (1.4) для непрерывной модели, а также приведенных выше двух зависимостей (1.11) и (1.13) становятся яс­ными и однозначно определенными все взаимосвязи, показанные на рис. 1.7. Подробнее это будет рассмотрено в разд. 2.4.

Существенным достоинством такого способа преобразования уравнения состояния непрерывной системы в уравнение состояния дискретной системы являются сравнительная простота и удобство повторного составления дискретной модели при изменении периода дискретизации.

Так, в соответствии с выражением (1.16) импульсная г-переда- точная функция для конкретных значений периода квантования Т имеет вид

Из этих примеров следует, что, поскольку общий вид z-переда­точной функции инвариантен к изменениям величины периода квантования T, а меняются лишь значения ее коэффициентов, проводить повторную идентификацию не требуется.

Необходимость исследования свойств дискретной модели, со­ставленной подобным образом, так же как и в случае проектирова­ния непрерывной системы управления, является важной особеннос­тью процесса разработки цифровой системы управления. Этому во­просу посвящена третья глава. Здесь же уместно коснуться только вопроса сохраняемости свойств, присущих непрерывной модели, а именно, если все эти свойства исследованы на непрерывной модели и сохраняются при переходе к дискретной модели, то отпадает не­обходимость их изучения применительно к дискретной модели.

Свойства, присущие непрерывной модели, не обязательно до­лжны перекрывать все свойства дискретной модели. Например, в импульсной z-передаточной функция (1.17) для двигателя постоян­ного тока имеет место нуль, в точке z = -0,975, отсутствующий у модели непрерывной системы с передаточной функцией G(s). Эти вопросы подробно рассмотрены в третьей главе: разд. 3.1—3.2 по­священы условиям устойчивости, управляемости и наблюдаемости дискретной системы, а в следующем за ними разд. 3.3 исследуется взаимосвязь между периодом квантования Т и свойствами дискрет­ной модели, такими, как расположение нулей и полюсов, устойчи­вость, управляемость и наблюдаемость.

Выше была рассмотрена процедура перехода от непрерывного временного процесса к дискретному. Если определить условия и процедуру обратного перехода, то становится возможным установ­ление взаимно однозначного соответствия между двумя дискретны­ми моделями с различными периодами дискретизации Т₁ и Т₂.

Согласно такому соответствию, дискретная модель с периодом квантования T₁ может быть преобразована в непрерывную модель, которая в свою очередь преобразуется в дискретную модель с пери­одом квантования Т₂. Подобное преобразование оказывается очень полезным при выборе микроЭВМ на этапах анализа и синтеза ци­фровой системы управления, поскольку позволяет проводить оцен­ку функциональных возможностей и технико-экономических показа­телей микроЭВМ в их взаимосвязи с различными значениями пери­ода дискретизации и требуемыми показателями качества системы управления.

Наибольший интерес здесь представляет задача адекватного пе­рехода от ряда дискретных значений переменной на заданном вре­менном интервале к непрерывному представлению этой переменной в данном временном интервале. Решение этой задачи известно в ви­де теоремы о восстановлении непрерывного сигнала из дискретно­го, согласно которой устанавливается взаимосвязь между периодом квантования и характеристиками непрерывного сигнала. Практиче­ский вывод из этой теоремы сводится к тому, что влияние дискре­тизации исходного сигнала становится мало ощутимым, если ча­стота квантования по крайней мере в два раза превышает частоту наиболее высокочастотной составляющей спектра исходного непре­рывного сигнала. В разд. 3.5 приведена конкретная прикладная ме­тодика разработки цифровой системы управления, базирующаяся на этой теореме.

В целом же задача адекватного преобразования дискретной мо­дели в непрерывную, представляющая большой интерес для анали­за и синтеза цифровой системы управления, рассмотрена в разд. 3.4.

Перейдем теперь к этапу синтеза системы цифрового управле­ния. Известны два основных способа решения этой задачи. Первый из них — синтез цифровой системы управления по дискретной мо­дели (этап «синтез дискретной системы» на рис. 1.2), второй — синтез цифровой системы по непрерывной модели, заключающийся в преобразовании синтезированного непрерывного закона управле­ния в цифровой закон управления (этап «цифровое перепроектиро­вание» на рис. 1.2). В .четвертой главе рассмотрены способы и ме­тодика разработки оптимального цифрового регулятора, включая решение вопросов, связанных с организацией обратной связи по со­стоянию системы, наблюдателем, управлением с конечным време­нем регулирования. В пятой главе рассмотрены принцип организа­ции внутренней модели и последовательность проектирования ци­фровой следящей системы, а также проектирование системы циклического управления.

Эти способы проектирования практически идентичны способу проектирования аналогового регулятора по непрерывной модели (см. этап «синтез системы непрерывного управления» на рис. 1.2). Однако имеется ряд специфических особенностей, которые требует­ся учитывать при разработке системы цифрового управления. Так, например, если в качестве z-передаточной функции G(z) двигателя постоянного тока принять выражение (1.176), а закон управления выбрать в виде

то рассогласование в системе достигает нулевого значения за опре­деленный промежуток времени (рис. 1.8). Это явление, известное как управление с конечным временем регулирования, не возникает при непрерывном управлении. В четвертой и пятой главах рассмотрена процедура проектирования регулятора с учетом такого рода характерных особенностей цифрового управления. Кроме того, при проектировании любой системы цифрового управления возникает' необходимость определения периода дискретизации на всех этапах идентификации, моделирования или анализа. Однако выбор перио­да дискретизации, как было отмечено выше, зависит от типа испо­льзуемой микроЭВМ, функциональных возможностей и технических показателей процессора, а также необходимого объема вычислений при реализации синтезированного закона управления. Так, для сис­темы управления с повышенным быстродействием, например робо­том, требуется минимально возможный период квантования. В этом случае допустимо рассматривать вариант проектирования ана­логового регулятора по непрерывной модели с последующей его за­меной на цифровой регулятор. Однако при этом возможны ситуа­ции, когда система управления, работающая на основе аналогового регулятора, и система управления на базе цифрового регулятора бу­дут функционировать не адекватно.

Это можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть в системе, представленной на рис. 1.1(a), передаточная функция G(s) задается выражением (1.8), а передаточная функция G(s) = к, где к — постоянный коэффициент усиления. Тогда переда­точная функция замкнутой непрерывной системы будет определять­ся выражением

Такая система асимптотически устойчива при изменении коэффи­циента в диапазоне

Если эту же систему реализовать в варианте цифрового управле­ния в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1.5, и построить графики переходных процессов при конкретных значениях коэффи­циента и периодов квантования , то из представленных на рис. 1.9 графиков* видно, что с увеличением пе­риода дискретизации увеличивается колебательность переходного процесса, т. е. с увеличением периода квантования ухудшаются устойчивость и качество системы. В подобных случаях необходима процедура перехода от этапа синтеза непрерывной системы к пере­проектированию цифровой системы управления (см. рис. 1.2). С этой целью в шестой главе рассмотрен способ, основанный на ап­проксимации характеристик объекта управления либо в частотной, либо во временной областях.

В заключение рассмотрим этап реализации цифрового регулято­ра. Проблемы на этом этапе возникают в связи с уточнением ин­тервала времени, необходимого для проведения требуемого объема вычислений при формировании синтезированного на предыдущих этапах закона управления объектом. При цифровом управлении для определения управляющего воздействия на каждом рабочем такте требуется выполнение соответствующих процедур в виде последова­тельности арифметических и логических операций процессора, зани­мающих дополнительное время. Кроме того, определенные затра­ты времени связаны и с преобразованием сигналов из аналоговой Формы в цифровую и наоборот. Следовательно, возникает необхо­димость в учете временного запаздывания, связанного с подобными

Рис. 1.10. Переходные процессы в системе при различных периодах дискретизации и учетом временного запаздывания сигнала на один такт.

затратами времени, при проведении предыдущих этапов проекти­рования.

Так, если в контур системы, рассмотренной выше, ввести запаз­дывание на один период дискретизации, то переходные процессы в системе будут носить ярко выраженный колебательный характер (см. рис. 1.10) и система приближается к границе устойчивости. В седьмой главе дан теоретический анализ этой проблемы и приведе­ны основные принципы проектирования оптимального регулятора с учетом запаздывания, вызванного затратами времени на проведе­ние соответствующих вычислительных процедур.

Одно из отличий системы цифрового управления от обычной дискретной системы заключается в возможности использования ин­формации, получаемой как в дискретные моменты времени, так и в интервалах между ними. Оптимальному управлению, в котором использована эта особенность, посвящен разд. 7.2.

Помимо учета запаздывания (вызванного затратами времени на осуществление вычислительных процедур и преобразования сигна­лов) на этапе «реализация цифрового регулятора» требуется реше­ние и ряда других проблем, связанных с учетом частичной потери информации при квантовании сигналов, а также с влиянием моди­фикации параметров и параметрической погрешности на характери­стики системы (характеристика чувствительности и робастная устойчивость).

Продемонстрируем это на простом примере. Пусть в предыду­щем примере передаточная функция G(s) содержит некоторый варьируемый параметр b:

Тогда, проведя исследование устойчивости замкнутой системы, заданной структурной схемой на рис. 1.5 при значении параметра и различных периодах квантования Г, получим следующие результаты: система с периодом квантования с устойчива при изменении параметра b в диапазоне , а с перио­дом квантования только в диапазоне .

В связи с этим в разд. 8.1 исследуется влияние квантования сиг­нала на показатели качества системы, а в разд. 8.2 изучаются влия­ния модификации параметров и выбора периода квантования на ро­бастную устойчивость оптимального регулятора.

В девятой, заключительной главе на примере задачи стабилиза­ции колебаний маятниковой системы показаны возможности прак­тического применения теоретического материала, изложенного в предыдущих главах.

Для удобства восприятия и изучения материала книги авторы ограничились рассмотрением систем управления с одним входом и одним выходом. Однако практически все полученные результаты полностью применимы и для общего случая многосвязных систем с несколькими входами и выходами. Необходимый для этого спра­вочный материал кратко изложен в Приложении, а для более глу­бокого изучения вопросов, касающихся исследования многосвязных систем управления с многими входами и выходами, рекомендуется обратиться к работам <14 — 24>.

Наконец, о принятой в книге системе условных обозначений. При описании непрерывных сигналов и непрерывных систем испо­льзуются круглые скобки () (например, и т. д.), а при описании дискретных сигналов и дискретных систем — квадратные скобки [] (например, и т. д.). В отличие от скалярных ве­личин матрицы обозначаются жирными прописными (заглавными) символами, а вектора — жирными строчными символами. Напри­мер, символы А, b и к обозначают соответственно матрицу, вектор и скалярную величину. Единичная матрица n-го порядка записыва­ется как 1_n, при этом подстрочный индекс n, указывающий на раз­мерность матрицы, может опускаться там, где это не вызывает не­доразумений. Для операций над матрицами (например, матрицей А) приняты следующие дополнительные обозначения:

— транспонированная матрица А;

— детерминант (определитель) матрицы А;

— присоединенная матрица, т. е. матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А;

— ранг матрицы А, наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: