АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Разработка системы непрерывного управления (управления в не­прерывной временной области) включает следующие основные эта­пы (рис. 1.2):

1) составление математической модели системы;

2) анализ процессов, протекающих в системе;

3) синтез системы управления.

Первый этап — этап составления математической модели — за­ключается в формализации и конкретизации математической моде­ли в виде уравнений состояния системы и (или) соответствующих передаточных функций, получаемых на основании физических зако­нов, определяющих поведение объекта управления, и физических па­раметров объекта управления. Такая математическая модель явля­ется основой для последующих этапов анализа и синтеза системы управления.

Основными задачами этапа анализа являются: оценка устойчи­вости системы, оценка управляемости и наблюдаемости и выявле­ние ряда других особенностей по полученной математической моде­ли. Одновременно решается задача линеаризации и упрощения ма­тематической модели (например, понижение порядка уравнений модели) в той степени, насколько это необходимо для выполнения последующих этапов проектирования системы управления, но не вносящих существенных изменений в характер физических процесс сов, протекающих в системе.

Главная цель этапа синтеза — разработка регулятора, удовлетворяющего требованиям, сформулированным на предыдущем этапе. Для этого обычно необходимо указать исходные данные на про­ектирование, сформулированные либо в техническом задании на разработку регулятора, либо полученные по результатам выполне­ния предыдущих этапов (например, в терминах классической теории управления — запасы устойчивости по фазе и амплитуде, для опти­мального регулятора — матрица весовых коэффициентов, квадра­тичного функционала и т.д.).

Проблематика и методика разработки систем непрерывного управления достаточно полно и хорошо представлены в многочис­ленных публикациях (1—11), поэтому в данной работе соответ­ствующие вопросы затрагиваются только по мере необходимости, без системного их изложения.

Рассмотрим сравнительно простой пример, позволяющий удоб­но и наглядно проиллюстрировать последовательность разработки регулятора. Допустим, что ставится задача регулирования угла поворота выходного вала исполнительного привода — сервопривода, выполненного на базе двигателя постоянного тока с постоянным, независимым возбуждением

Рис. 1.3. Сервопривод на базе двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

(рис. 1.3). На рисунке — физические переменные: управляющее напряжение, ток якоря двига­теля и угол поворота выходного вала, a — физические параметры: индуктивность и сопротивление в цепи якоря двигате­ля, коэффициент вязкого трения и момент инерции нагрузки соответственно.

Используя законы Ома и Кирхгофа для напряжений в цепи яко­ря двигателя, можно записать уравнение, связывающее ток якоря и управляющее напряжение , в виде:

а зависимость между моментом, развиваемым двигателем, и мо­ментом нагрузки представить соотношением:

В этих выражениях и — коэффициент противоЭДС и ко­эффициент момента соответственно—физические параметры двига­теля, зависящие от тока возбуждения.

Систему уравнений (1.1) можно представить в виде системы обычных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в матричной форме записи будет иметь вид:

Переходя от данного конкретного примера к общему случаю представления математического описания движения линейной дина­мической системы (непрерывной во временной области), можно за­писать:

где – вектор состояния системы , – управляющая входная переменная – выходная переменная.

Так, в приведённом выше примере :

Здесь индекс «Т» означает транспонирование. Дифференциальное уравнение (1.3а) называется уравнением состояния системы, а уравнение (1.36) — уравнением выходной переменной (часто оба этих уравнения вместе называют уравнениями состояния системы). Эти два уравнения в совокупности определяют пространство состоя­ния системы во временной области. Той же цели может служить и передаточная функция системы.

Передаточная функция системы устанавливает взаимосвязь изо­бражений ее входных и выходных переменных. Так, если для систе­мы уравнений (1.3) применить преобразование Лапласа при нуле­вых начальных условиях, то такая передаточная функция будет иметь вид:

где и — преобразования Лапласа переменных и соответственно.

Для рассматриваемого конкретного примера передаточная функ­ция определяется выражением:

Решением системы дифференциальный уравнений (1.3) при начальных условиях

определяет непосредственную взаимосвязь между входными и выходными переменными.

Определение параметров уравнений состояния (величин в выражении (1.3)) или параметров передаточной функции (1.4) называется идентификацией. Идентификация возможна как в слу­чае, когда структура модели объекта управления определена (как в рассматриваемом примере), так и в случае, когда структура модели заранее не известна <13, 14>.

Рассмотрим конкретный пример идентификации. Пусть физиче­ские параметры системы имеют следующие значения: . Уравнения состояния системы и ее передаточная функция в этом частном случае будут иметь вид:

Проведем анализ полученной математической модели системы для непрерывной временной области.

Представив полином знаменателя передаточной функции (1.8) в виде произведения сомножителей видим, что пе­редаточная функция (1.8) содержит только полюса в точках и не имеет нулей. Это позволяет оценить устойчивость системы и осуществить выделение областей устойчивости в плос­кости параметров системы, используя критерий Рауса—Гурвица. Этот же анализ можно выполнить и непосредственно по уравнени­ям состояния, рассмотрев собственные числа матрицы . Кроме того, анализ по исходным уравнениям состояния позволяет оценить и управляемость системы.

Однако непосредственное использование такой математической модели для проведения последующих этапов проектирования мето­дически не оправдано, хотя в ряде случаев и возможно. Не оправда­но прежде всего из-за требования максимально возможного пони­жения размерности математической модели, что позволяет значи­тельно сократить объем вычислений при проектировании регулятора. Поэтому понижение размерности модели — одна из на­иболее актуальных задач на этапе анализа системы. Например, вы-j делив в передаточной функции (1.8) два полюса: - 1 и -10, послед­ний можно не включать в рассмотрение, поскольку он определяет скорости движения объекта, выходящие за рамки предельных значе­ний скорости движений системы в целом. Физически это означает, что электрические переходные процессы в якорной цепи двигателя практически не оказывают никакого влияния на механическое дви­жение якоря.

C учетом этих соображений модель пониженного порядка можно записать в виде передаточной функции

На рис. 1.4 показанный логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАХ) разомкнутых систем и реакции на единичное воздействие ( единичный скачёк ) замкнутых систем с передаточными функциями и .

Из приведенных на рисунке зависимо­стей видно, что характеристики, полученные с использованием пе­редаточной функции (модели более низкого порядка), сущест­венно не отличаются от характеристик, полученных с использованием передаточной функции . Процесс понижения размерности исходной модели может проводиться исходя из рас­смотрения как уравнений состояния системы, так и ее передаточных функций.

Рис. 1.4. Характеристики исход­ной системы с передаточной функ­цией G(s) и ее модели пониженного порядка с передаточной функцией Ḡ(s). (а) Логарифмические ампли­тудно-частотные характеристики (ЛАХ) разомкнутой системы, (б)Переходные процессы в замкнутой системе.

В заключение кратко рассмотрим этап синтеза системы управле­ния в непрерывной временной области. Известны два основных подхода, основанные на использовании либо математической моде­ли, заданной в виде передаточной функции (комплексная, или ча­стотная, плоскость), либо математической модели, заданной в про­странстве состояния системы (временная плоскость). При первом подходе исходя из заданных показателей качества процессов регули­рования или запасов устойчивости по фазе и амплитуде и частоты среза строится желаемая JIAX, и передаточная функция регулятора и его параметры выбираются таким образом, чтобы реальная (рас­полагаемая) ЛAX, построенная по передаточной функции G(s) (ли­бо совместно с ЛAX регулятора в диапазоне существенных частот не отличалась от желаемой ЛAX. Второй подход к решению задачи синтеза заключается в построении системы управления оптимальной (в смысле минимума) некоторой интегральной оценки (функционала), и закон оптимального управления формируется с помощью обратной связи по вектору состояния системы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: