Вопрос 5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
Метод замены переменной
При вычислении определенных интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной.
Т.5.1. (замена переменной в определенном интеграле)
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда, если:
1)функция x = j(t) и ее производная x′ = j′(t) непрерывны на отрезке [a;b];
2)множеством значений функции x = j(t) является отрезок [a;b];
3)j(a) = a, j(b) = b,
то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Замечание
1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.
2. Часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).
3. При использовании формулы необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.
Пример. Вычислить
Решение
Интегрирование по частям
Т.5.2. (интегрирование по частям в определенном интеграле)
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
.
Пример. Вычислить интеграл
Решение
Вопрос 6. Несобственные интегралы
При введении определенного интеграла как предела интегральной суммы мы исходили из условий ограниченности подынтегральной функции и конечности пределов интегрирования.
О.6.1.Определенный интеграл где промежуток интегрирования [a;b] конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна (ограничена) на отрезке [a;b], называется собственныминтегралом. Если хотя бы одно из двух выше указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
(несобственные интегралы I-го рода)
Пусть функция y = f(x) непрерывна на полуинтервале [a;+¥).
О.6.2.Несобственным интегралом I-го родаот функции f(x) на промежутке [a;+¥) называется предел интеграла при b®+¥:
. (7)
Если предел (7) существует и конечен, то несобственный интеграл
(8)
называется сходящимся. Если предел (7) не существует или бесконечен, то интеграл (8) называется расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x) на промежутке (‒¥;b]:
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
,
где с – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла справа.
Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
Þ интеграл сходится.
- предел не существует Þ интеграл расходится.
Замечание
Если F(x) - первообразная для функции f(x), то по основной формуле интегрирования можно записать:
Несобственные интеграла от неограниченных функций
(несобственные интегралы II-го рода)
Пусть функция y = f(x) определена на промежутке [a;b).
О.6.3. Точка x = b называется особой точкой для функции f(x), если f(x) не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в полуинтервале [a;b).
Пусть функция y = f(x) не ограничена в окрестности точки b (т.е. в точке x = b имеет бесконечный разрыв), но при любом достаточно малом e > 0 является ограниченной и интегрируемой на отрезке
[a;b ‒ e].
О.6.4.Несобственным интегралом II-го родаот функции f(x) по отрезку [a;b], где x = b - особая точка, называется предел интеграла при e®0+0:
. (9)
Если предел (9) существует и конечен, то несобственный интеграл
(10)
называется сходящимся. Если предел (9) не существует или бесконечен, то интеграл (10) называется расходящимся.
Аналогично, если x = a - особая точка, то несобственный интеграл II-го рода определяется так:
.
Если x = c - особая точка и cÎ(a;b), то несобственный интеграл II-го рода определяется формулой
. (11)
Интеграл слева в формуле (11) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба несобственных интеграла, стоящих справа.
Если x = a и x = b - особые точки, то несобственный интеграл II-го рода так же определяется формулой (11), в которой с – любая точка из интервала (a;b).
Замечание. Особых точек может быть конечное число.
Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
Þ интеграл сходится.
Þ интеграл расходится.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|