Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела

ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.

Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла

Интеграл

(1)

был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Свойство 1. .

Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx_i = 0.

Свойство 2. .

Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок [a;b] пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx_i < 0.

Свойство 3. (свойство аддитивности)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b] и a < c < b, то

. (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Свойство 4.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

,

где k = const.

Свойство 5.

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

.

Замечание

1. Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
2. Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.

Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем

Будем считать, что всюду a < b.

1. Если всюду на отрезке [a;b] функция f(x) ≥ 0, то .

2. Если всюду на отрезке [a;b] f(x) ≥ g(x), то .

3. Для функции f(x), определенной на отрезке [a;b], имеет место неравенство .

В частности, если всюду на отрезке [a;b] то и .

4.Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то .

Т.2.1. (теорема о среднем)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке существует точка с, такая, что

. (3)

Равенство (3) называется формулой среднего значения, а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ[a;b] существует интеграл

(4)

Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):

. (5)

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).

Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке [a;b].

Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство

.

Следствие

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).

Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить связь между неопределенным и определенным интегралами:

,

где С – произвольная постоянная.

Вопрос 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной связи между неопределенным и определенным интегралами.

Т.4.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - любая первообразная для функции f(x) на [a;b], то справедлива формула

. (6)

Формула (6) называется формулой Ньютона – Лейбница.

Если ввести обозначение то формулу Ньютона-Лейбница (6) можно переписать в виде

.

Формула Ньютона – Лейбница дает удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти любую первообразную функцию F(x) для f(x) и взять разность F(b) ‒ F(a) на концах отрезка [a;b].

Пример

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: