Сделай Сам Свою Работу на 5

Уравнение прямой, заданной двумя точками





Глава II. «Элементы аналитической геометрии»

§ 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов.
Модуль вектора. Умножение вектора на число

Определение. Отрезок называется направленным (рис. 2.1), если указан порядок, в котором заданы концы отрезка.

Обозначение: . А В

Рис. 2.1

Определение. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.

Обозначение:

Определение. Ненулевые отрезки и называются одинаково (противоположно) направленными, если одинаково (противоположно) направлены лучи АВ и СD.

Обозначение: ­­ ( ­¯ ).

Определение. Вектором называется множество всех одинаково направленных отрезков, имеющих равные длины. Каждый из этих направленных отрезков называется представителем вектора.

Определение. Два вектора и называются одинаково (противоположно) направленными, если одинаково (противоположно) направлены какие-либо два представителя этих векторов.

Определение. Пусть заданы два вектора и . Направленный отрезок определяет вектор , который называется суммой векторов и .

= +

B

 

А С

Рис. 2.2

 

Правило треугольника: (рис. 2.2).

Откладывая векторы последовательно, можно найти сумму любого количества векторов, используя правило многоугольника (рис. 2.3).



D E

 

 

C

 

A B

Рис. 2.3

 

(рис. 2.3).

Для любых векторов :

1) + = + — коммутативность сложения;

2) — ассоциативность сложения.

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор , что , .

Из треугольника ABC (рис. 2.4): .

B


 

А С

Рис. 2.4

Правило параллелограмма: (рис. 2.5).

В С

 


А D

Рис. 2.5

Определение. Произведением вектора на действительное число a называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ; 2. , если a ³ 0, , если a < 0.

Теорема. Для любых векторов и для любых действительных чисел a и b выполняются равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Определение. Векторы и называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Теорема. Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е. .

Теорема. Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю, т. е. .



Определение. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам в прямоугольной системе координат называются координатами вектора .

Обозначение: .

Координаты вектора можно вычислить, зная координаты начала и конца этого вектора, т. е. если и , то .

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: или , = .

Теорема. Длина вектора ( ) в прямоугольной системе координат (О, ) вычисляется по формуле .

Скалярное произведение = называется скалярным квадратом вектора , причем = . Таким образом, .

Теорема. Скалярное произведение векторов ( ) и , заданных в прямоугольной системе координат (О, ), выражается формулой = .

Условие перпендикулярности векторов и :

= 0, или в координатах: .

Косинус угла между ненулевыми векторами вычисляется по формуле:

сos ( , )= или сos ( , ) = .

 

Примеры решения задач

1. Пусть АВСD — параллелограмм, О — точка пересечения диагоналей. Е, F — середины параллельных сторон ВС и АD. Построить на чертеже векторы:

а) . К

 

 

В С

 

 

А D

Рис. 2.6

, где (рис. 2.6).

 

б) .

В Е С


 

А F D

Рис. 2.7

(рис. 2.7).

 

в) . В С

 

О

А D

Рис. 2.8

(рис. 2.8).

 

г) .

(рис. 2.9).

В С

О

 

А D

 

Рис. 2.9

д) .

В Е С

 

О

 

А F D

Рис. 2.10

(рис. 2.10).

е) В Е С

 

О

А D

К

Рис. 2.11


= где (рис. 11).

2. По данным векторам и построить вектор .

Решение

Отложим векторы и от одной точки (рис. 2.12): .

Построим . По правилу параллелограмма , поэтому .

В С

 

 

В1

 

 

О А А1

Рис. 2.12



3.В ромбе ABCD (рис. 2.13) выразить векторы через векторы и .

Решение

 

Рис. 2.13

4. Найти скалярное произведение векторов и выяснить, являются ли они перпендикулярными.

Решение

, следовательно, векторы и перпендикулярны.

5.На плоскости даны векторы (–1; 5), (3; 5), (–2; 8), (3; 1). Вычислить .

Решение

= ((–1; 5) – (3; 5))∙((–2; 8) –(3; 1)) = (–4; 0)∙(–5; 7) =
=(–4)(–5) = 20.

6.Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и перпендикулярны?

Решение

=0 . Учитывая, что , получим

.

Таким образом, имеем .

§ 2. Деление отрезка в данном отношении.
Вычисление расстояния между точками.
Косое произведение векторов. Площадь треугольника

Если , то .

— формула для вычисления длины вектора или расстояния между точками М1 и М2.

Определение. Точка М делит отрезок в отношении , причем , если .

Если и М (х, у) точка делит отрезок М1М2 в отношении , то

.

Для середины отрезка .

Определение. Косым произведением векторов и называется произведение длин этих векторов на синус угла между ними, т. е. .

Косое произведение в координатах вычисляется по формуле = .

 

Примеры решения задач

1. Найти точку М пересечения медиан треугольника АВС (рис. 2.14), если А(1; 4), В(–5; 0), С(–2; –1).

Решение

 
 

 


Рис. 2.14

D — середина , .

Используя свойство медиан треугольника, получим . Если М(х,у), то

.

 

2. Найти площадь треугольника АВС, если А(2;1), В(3;4) и С(1;6).

Решение

. Используя определение косого произведения векторов, получим, что . .

, следовательно, .

§ 3. Различные способы задания прямой

Пусть d — некоторая прямая.

Определение. Каждый ненулевой вектор , параллельный прямой d или лежащий на данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, заданной точкой
и направляющим векторому

M

M0

 

M1

 

 

d
у
O х

Рис. 2.15

Прямая d вполне определяется точкой и направляющим вектором || d (рис. 15). Так как , где , то уравнение прямой можно записать в виде

, (1)

. (2)

 

— каноническое уравнение (3)

Уравнения (1)—(3) — различные виды уравнений прямой .

Уравнение прямой, заданной двумя точками

Как известно, через две данные точки проходит единственная прямая. Найдем уравнение этой прямой. Пусть прямая задана двумя точками (рис. 2.15). Обозначим координаты произвольной точки М (х, у)Îd. В качестве направляющего вектора можно взять вектор и воспользоваться уравнениями (1) и (3). Запишем соответствующие уравнения:

(4) ,

(5) — каноническое уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Общее уравнение прямой

Различные формы записи уравнения прямой (1—5), рассмотренные нами в предыдущих пунктах параграфа, имеют в принципе один и тот же вид:

(6) ,

где А, В, С — некоторые числа.

Уравнение (6) называется общим уравнением прямой, где является направляющим вектором этой прямой.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к данной прямой, называется вектором нормали данной прямой и обозначается . Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой являются координатами вектора нормали

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (6):

1. Если С = 0, то уравнение принимает вид и определяет прямую, проходящую через начало координат, так как ее координаты (0; 0) удовлетворяют этому уравнению (рис. 2.16)

 

 


Рис. 2.16

2. Если В = 0 (А ¹ 0), то уравнение принимает вид и определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 2.17). Это уравнение (при А ¹ 0) можно привести к виду или , где а — любое действительное число. В частности, если С = 0, то уравнение определяет ось ординат.

 


Рис. 2.17

3. Если А = 0 (В ¹ 0), то уравнение принимает вид и определяет прямую, параллельную оси Ох (рис. 2.18). Это уравнение (при В ¹ 0) можно привести к виду или , где в — любое действительное число. В частности, если С = 0, то уравнение определяет ось абсцисс.

 

 


Рис. 2.18

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.